Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13757 / 15827
↖ ↑ ↗
← N 79.455014°
W142.215271°		 ← 55.90 m → N 79.455014°
W142.212524°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.454511°
W142.215271°		 ← 55.90 m →
3 127 m²		 N 79.454511°
W142.212524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104961395263672 y=0.120754241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104961395263672 × 217)
    floor (0.104961395263672 × 131072)
    floor (13757.5)     		tx = 13757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120754241943359 × 217)
    floor (0.120754241943359 × 131072)
    floor (15827.5)     		ty = 15827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13757 / 15827 ti = "17/13757/15827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13757/15827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13757 ÷ 217
    13757 ÷ 131072     		x = 0.104957580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15827 ÷ 217
    15827 ÷ 131072     		y = 0.120750427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104957580566406 × 2 - 1) × π
    -0.790084838867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.48212473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120750427246094 × 2 - 1) × π
    0.758499145507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.38289534321337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48212473} λ = -2.48212473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38289534321337))-π/2
    2×atan(10.836232098667)-π/2
    2×1.47877396229478-π/2
    2.95754792458955-1.57079632675     		φ = 1.38675160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48212473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.215271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38675160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.455014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13757 KachelY 15827 -2.48212473 1.38675160 -142.215271 79.455014
    Oben rechts KachelX + 1 13758 KachelY 15827 -2.48207679 1.38675160 -142.212524 79.455014
    Unten links KachelX 13757 KachelY + 1 15828 -2.48212473 1.38674282 -142.215271 79.454511
    Unten rechts KachelX + 1 13758 KachelY + 1 15828 -2.48207679 1.38674282 -142.212524 79.454511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38675160-1.38674282) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38675160-1.38674282) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48212473--2.48207679) × cos(1.38675160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183007477078386 × 6371000     		do = 55.8951941121625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48212473--2.48207679) × cos(1.38674282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183016108790489 × 6371000     		du = 55.897830459219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38675160)-sin(1.38674282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183007477078386-0.183016108790489)×R²
    abs(-2.48207679--2.48212473)×8.63171210302438e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63171210302438e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63171210302438e-06×40589641000000     		ar = 3126.7044482553m²