Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13754 / 15825
↖ ↑ ↗
← N 79.456019°
W142.223511°		 ← 55.89 m → N 79.456019°
W142.220764°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.455516°
W142.223511°		 ← 55.89 m →
3 123 m²		 N 79.455516°
W142.220764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104938507080078 y=0.120738983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104938507080078 × 217)
    floor (0.104938507080078 × 131072)
    floor (13754.5)     		tx = 13754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120738983154297 × 217)
    floor (0.120738983154297 × 131072)
    floor (15825.5)     		ty = 15825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13754 / 15825 ti = "17/13754/15825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13754/15825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13754 ÷ 217
    13754 ÷ 131072     		x = 0.104934692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15825 ÷ 217
    15825 ÷ 131072     		y = 0.120735168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104934692382812 × 2 - 1) × π
    -0.790130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48226854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120735168457031 × 2 - 1) × π
    0.758529663085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.38299121701261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48226854} λ = -2.48226854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38299121701261))-π/2
    2×atan(10.8372710592115)-π/2
    2×1.47878273469251-π/2
    2.95756546938502-1.57079632675     		φ = 1.38676914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48226854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.223511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38676914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.456019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13754 KachelY 15825 -2.48226854 1.38676914 -142.223511 79.456019
    Oben rechts KachelX + 1 13755 KachelY 15825 -2.48222060 1.38676914 -142.220764 79.456019
    Unten links KachelX 13754 KachelY + 1 15826 -2.48226854 1.38676037 -142.223511 79.455516
    Unten rechts KachelX + 1 13755 KachelY + 1 15826 -2.48222060 1.38676037 -142.220764 79.455516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38676914-1.38676037) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38676914-1.38676037) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48226854--2.48222060) × cos(1.38676914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182990233274152 × 6371000     		do = 55.8899274104938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48226854--2.48222060) × cos(1.38676037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182998855183306 × 6371000     		du = 55.8925607634776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38676914)-sin(1.38676037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182990233274152-0.182998855183306)×R²
    abs(-2.48222060--2.48226854)×8.62190915457139e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62190915457139e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62190915457139e-06×40589641000000     		ar = 3122.84892812745m²