Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13753 / 4679
↖ ↑ ↗
← N 77.899558°
W 28.905029°		 ← 256.09 m → N 77.899558°
W 28.894043°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
N 77.897255°
W 28.905029°		 ← 256.14 m →
65 594 m²		 N 77.897255°
W 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419723510742188 y=0.142807006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419723510742188 × 215)
    floor (0.419723510742188 × 32768)
    floor (13753.5)     		tx = 13753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142807006835938 × 215)
    floor (0.142807006835938 × 32768)
    floor (4679.5)     		ty = 4679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13753 / 4679 ti = "15/13753/4679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13753/4679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13753 ÷ 215
    13753 ÷ 32768     		x = 0.419708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4679 ÷ 215
    4679 ÷ 32768     		y = 0.142791748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50448793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142791748046875 × 2 - 1) × π
    0.71441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24440564021103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50448793} λ = -0.50448793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24440564021103))-π/2
    2×atan(9.4348062202095)-π/2
    2×1.46520005346863-π/2
    2.93040010693727-1.57079632675     		φ = 1.35960378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50448793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.905029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35960378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.899558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13753 KachelY 4679 -0.50448793 1.35960378 -28.905029 77.899558
    Oben rechts KachelX + 1 13754 KachelY 4679 -0.50429618 1.35960378 -28.894043 77.899558
    Unten links KachelX 13753 KachelY + 1 4680 -0.50448793 1.35956358 -28.905029 77.897255
    Unten rechts KachelX + 1 13754 KachelY + 1 4680 -0.50429618 1.35956358 -28.894043 77.897255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35960378-1.35956358) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dl = 256.114199999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35960378-1.35956358) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dr = 256.114199999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50448793--0.50429618) × cos(1.35960378) × R
    0.000191750000000046 × 0.20962609896984 × 6371000     		do = 256.087470326002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50448793--0.50429618) × cos(1.35956358) × R
    0.000191750000000046 × 0.209665405621616 × 6371000     		du = 256.135488874599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35960378)-sin(1.35956358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20962609896984-0.209665405621616)×R²
    abs(-0.50429618--0.50448793)×3.93066517768992e-05×R²
    0.000191750000000046×3.93066517768992e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.93066517768992e-05×40589641000000     		ar = 65593.7867170503m²