Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13753 / 4677
↖ ↑ ↗
← N 77.904164°
W 28.905029°		 ← 255.99 m → N 77.904164°
W 28.894043°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
N 77.901861°
W 28.905029°		 ← 256.04 m →
65 553 m²		 N 77.901861°
W 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419723510742188 y=0.142745971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419723510742188 × 215)
    floor (0.419723510742188 × 32768)
    floor (13753.5)     		tx = 13753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142745971679688 × 215)
    floor (0.142745971679688 × 32768)
    floor (4677.5)     		ty = 4677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13753 / 4677 ti = "15/13753/4677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13753/4677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13753 ÷ 215
    13753 ÷ 32768     		x = 0.419708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4677 ÷ 215
    4677 ÷ 32768     		y = 0.142730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50448793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142730712890625 × 2 - 1) × π
    0.71453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24478913540799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50448793} λ = -0.50448793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24478913540799))-π/2
    2×atan(9.43842511694961)-π/2
    2×1.46524024123445-π/2
    2.93048048246891-1.57079632675     		φ = 1.35968416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50448793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.905029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35968416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.904164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13753 KachelY 4677 -0.50448793 1.35968416 -28.905029 77.904164
    Oben rechts KachelX + 1 13754 KachelY 4677 -0.50429618 1.35968416 -28.894043 77.904164
    Unten links KachelX 13753 KachelY + 1 4678 -0.50448793 1.35964397 -28.905029 77.901861
    Unten rechts KachelX + 1 13754 KachelY + 1 4678 -0.50429618 1.35964397 -28.894043 77.901861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35968416-1.35964397) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35968416-1.35964397) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50448793--0.50429618) × cos(1.35968416) × R
    0.000191750000000046 × 0.209547504206026 × 6371000     		do = 255.991455877683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50448793--0.50429618) × cos(1.35964397) × R
    0.000191750000000046 × 0.209586801757199 × 6371000     		du = 256.039463308625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35968416)-sin(1.35964397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209547504206026-0.209586801757199)×R²
    abs(-0.50429618--0.50448793)×3.92975511728233e-05×R²
    0.000191750000000046×3.92975511728233e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.92975511728233e-05×40589641000000     		ar = 65552.8838859452m²