Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13751 / 3175
↖ ↑ ↗
← N 80.916292°
W 28.927002°		 ← 192.87 m → N 80.916292°
W 28.916016°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 80.914557°
W 28.927002°		 ← 192.91 m →
37 211 m²		 N 80.914557°
W 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419662475585938 y=0.0969085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419662475585938 × 215)
    floor (0.419662475585938 × 32768)
    floor (13751.5)     		tx = 13751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969085693359375 × 215)
    floor (0.0969085693359375 × 32768)
    floor (3175.5)     		ty = 3175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13751 / 3175 ti = "15/13751/3175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13751/3175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13751 ÷ 215
    13751 ÷ 32768     		x = 0.419647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3175 ÷ 215
    3175 ÷ 32768     		y = 0.096893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.16070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50487143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096893310546875 × 2 - 1) × π
    0.80621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53279402832529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50487143} λ = -0.50487143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53279402832529))-π/2
    2×atan(12.5886300341281)-π/2
    2×1.49152602290862-π/2
    2.98305204581724-1.57079632675     		φ = 1.41225572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50487143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.927002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41225572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.916292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13751 KachelY 3175 -0.50487143 1.41225572 -28.927002 80.916292
    Oben rechts KachelX + 1 13752 KachelY 3175 -0.50467968 1.41225572 -28.916016 80.916292
    Unten links KachelX 13751 KachelY + 1 3176 -0.50487143 1.41222544 -28.927002 80.914557
    Unten rechts KachelX + 1 13752 KachelY + 1 3176 -0.50467968 1.41222544 -28.916016 80.914557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41225572-1.41222544) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41225572-1.41222544) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50487143--0.50467968) × cos(1.41225572) × R
    0.000191750000000046 × 0.15787728467622 × 6371000     		do = 192.869087643941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50487143--0.50467968) × cos(1.41222544) × R
    0.000191750000000046 × 0.157907184854482 × 6371000     		du = 192.905614875288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41225572)-sin(1.41222544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15787728467622-0.157907184854482)×R²
    abs(-0.50467968--0.50487143)×2.99001782621822e-05×R²
    0.000191750000000046×2.99001782621822e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.99001782621822e-05×40589641000000     		ar = 37210.6473373166m²