Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13750 / 4673
↖ ↑ ↗
← N 77.913369°
W 28.937988°		 ← 255.79 m → N 77.913369°
W 28.927002°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
N 77.911068°
W 28.937988°		 ← 255.83 m →
65 451 m²		 N 77.911068°
W 28.927002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419631958007812 y=0.142623901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419631958007812 × 215)
    floor (0.419631958007812 × 32768)
    floor (13750.5)     		tx = 13750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142623901367188 × 215)
    floor (0.142623901367188 × 32768)
    floor (4673.5)     		ty = 4673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13750 / 4673 ti = "15/13750/4673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13750/4673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13750 ÷ 215
    13750 ÷ 32768     		x = 0.41961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4673 ÷ 215
    4673 ÷ 32768     		y = 0.142608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142608642578125 × 2 - 1) × π
    0.71478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24555612580191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50506317} λ = -0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24555612580191))-π/2
    2×atan(9.44566707524926)-π/2
    2×1.46532057157101-π/2
    2.93064114314202-1.57079632675     		φ = 1.35984482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35984482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.913369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13750 KachelY 4673 -0.50506317 1.35984482 -28.937988 77.913369
    Oben rechts KachelX + 1 13751 KachelY 4673 -0.50487143 1.35984482 -28.927002 77.913369
    Unten links KachelX 13750 KachelY + 1 4674 -0.50506317 1.35980466 -28.937988 77.911068
    Unten rechts KachelX + 1 13751 KachelY + 1 4674 -0.50487143 1.35980466 -28.927002 77.911068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35984482-1.35980466) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35984482-1.35980466) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50506317--0.50487143) × cos(1.35984482) × R
    0.000191739999999996 × 0.209390408400496 × 6371000     		do = 255.78620121265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50506317--0.50487143) × cos(1.35980466) × R
    0.000191739999999996 × 0.20942967796961 × 6371000     		du = 255.834171957746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35984482)-sin(1.35980466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209390408400496-0.20942967796961)×R²
    abs(-0.50487143--0.50506317)×3.92695691138756e-05×R²
    0.000191739999999996×3.92695691138756e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.92695691138756e-05×40589641000000     		ar = 65451.4306297639m²