Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13750 / 4563
↖ ↑ ↗
← N 78.163824°
W 28.937988°		 ← 250.56 m → N 78.163824°
W 28.927002°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
N 78.161570°
W 28.937988°		 ← 250.61 m →
62 790 m²		 N 78.161570°
W 28.927002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419631958007812 y=0.139266967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419631958007812 × 215)
    floor (0.419631958007812 × 32768)
    floor (13750.5)     		tx = 13750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139266967773438 × 215)
    floor (0.139266967773438 × 32768)
    floor (4563.5)     		ty = 4563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13750 / 4563 ti = "15/13750/4563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13750/4563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13750 ÷ 215
    13750 ÷ 32768     		x = 0.41961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4563 ÷ 215
    4563 ÷ 32768     		y = 0.139251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139251708984375 × 2 - 1) × π
    0.72149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26664836163474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50506317} λ = -0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26664836163474))-π/2
    2×atan(9.64701326893976)-π/2
    2×1.46750620403204-π/2
    2.93501240806407-1.57079632675     		φ = 1.36421608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36421608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.163824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13750 KachelY 4563 -0.50506317 1.36421608 -28.937988 78.163824
    Oben rechts KachelX + 1 13751 KachelY 4563 -0.50487143 1.36421608 -28.927002 78.163824
    Unten links KachelX 13750 KachelY + 1 4564 -0.50506317 1.36417675 -28.937988 78.161570
    Unten rechts KachelX + 1 13751 KachelY + 1 4564 -0.50487143 1.36417675 -28.927002 78.161570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36421608-1.36417675) × R
    3.93300000001151e-05 × 6371000     		dl = 250.571430000733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36421608-1.36417675) × R
    3.93300000001151e-05 × 6371000     		dr = 250.571430000733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50506317--0.50487143) × cos(1.36421608) × R
    0.000191739999999996 × 0.205114063071791 × 6371000     		do = 250.562322358511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50506317--0.50487143) × cos(1.36417675) × R
    0.000191739999999996 × 0.205152556681664 × 6371000     		du = 250.609345210779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36421608)-sin(1.36417675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205114063071791-0.205152556681664)×R²
    abs(-0.50487143--0.50506317)×3.84936098733746e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84936098733746e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84936098733746e-05×40589641000000     		ar = 62789.6507173236m²