Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13748 / 4553
↖ ↑ ↗
← N 78.186337°
W 28.959961°		 ← 250.11 m → N 78.186337°
W 28.948974°		 →
↑
250.13 m
↓
↑
250.13 m
↓
N 78.184088°
W 28.959961°		 ← 250.15 m →
62 564 m²		 N 78.184088°
W 28.948974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419570922851562 y=0.138961791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419570922851562 × 215)
    floor (0.419570922851562 × 32768)
    floor (13748.5)     		tx = 13748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138961791992188 × 215)
    floor (0.138961791992188 × 32768)
    floor (4553.5)     		ty = 4553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13748 / 4553 ti = "15/13748/4553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13748/4553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13748 ÷ 215
    13748 ÷ 32768     		x = 0.4195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4553 ÷ 215
    4553 ÷ 32768     		y = 0.138946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50544667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138946533203125 × 2 - 1) × π
    0.72210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26856583761954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50544667} λ = -0.50544667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26856583761954))-π/2
    2×atan(9.66552893120382)-π/2
    2×1.46770267025842-π/2
    2.93540534051683-1.57079632675     		φ = 1.36460901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50544667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36460901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.186337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13748 KachelY 4553 -0.50544667 1.36460901 -28.959961 78.186337
    Oben rechts KachelX + 1 13749 KachelY 4553 -0.50525492 1.36460901 -28.948974 78.186337
    Unten links KachelX 13748 KachelY + 1 4554 -0.50544667 1.36456975 -28.959961 78.184088
    Unten rechts KachelX + 1 13749 KachelY + 1 4554 -0.50525492 1.36456975 -28.948974 78.184088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36460901-1.36456975) × R
    3.92599999998744e-05 × 6371000     		dl = 250.1254599992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36460901-1.36456975) × R
    3.92599999998744e-05 × 6371000     		dr = 250.1254599992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50544667--0.50525492) × cos(1.36460901) × R
    0.000191749999999935 × 0.204729471695352 × 6371000     		do = 250.105558254722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50544667--0.50525492) × cos(1.36456975) × R
    0.000191749999999935 × 0.204767899955633 × 6371000     		du = 250.152503725789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36460901)-sin(1.36456975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204729471695352-0.204767899955633)×R²
    abs(-0.50525492--0.50544667)×3.84282602801655e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84282602801655e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84282602801655e-05×40589641000000     		ar = 62563.6389432367m²