Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13747 / 10762
↖ ↑ ↗
← N 52.415822°
W 28.970947°		 ← 745.11 m → N 52.415822°
W 28.959961°		 →
↑
745.15 m
↓
↑
745.15 m
↓
N 52.409121°
W 28.970947°		 ← 745.22 m →
555 262 m²		 N 52.409121°
W 28.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419540405273438 y=0.328445434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419540405273438 × 215)
    floor (0.419540405273438 × 32768)
    floor (13747.5)     		tx = 13747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328445434570312 × 215)
    floor (0.328445434570312 × 32768)
    floor (10762.5)     		ty = 10762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13747 / 10762 ti = "15/13747/10762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13747/10762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13747 ÷ 215
    13747 ÷ 32768     		x = 0.419525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10762 ÷ 215
    10762 ÷ 32768     		y = 0.32843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.16094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50563842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32843017578125 × 2 - 1) × π
    0.3431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07800499865582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50563842} λ = -0.50563842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07800499865582))-π/2
    2×atan(2.93881076746506)-π/2
    2×1.2428125057517-π/2
    2.48562501150341-1.57079632675     		φ = 0.91482868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50563842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91482868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.415822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13747 KachelY 10762 -0.50563842 0.91482868 -28.970947 52.415822
    Oben rechts KachelX + 1 13748 KachelY 10762 -0.50544667 0.91482868 -28.959961 52.415822
    Unten links KachelX 13747 KachelY + 1 10763 -0.50563842 0.91471172 -28.970947 52.409121
    Unten rechts KachelX + 1 13748 KachelY + 1 10763 -0.50544667 0.91471172 -28.959961 52.409121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91482868-0.91471172) × R
    0.000116959999999944 × 6371000     		dl = 745.152159999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91482868-0.91471172) × R
    0.000116959999999944 × 6371000     		dr = 745.152159999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50563842--0.50544667) × cos(0.91482868) × R
    0.000191750000000046 × 0.609926348305327 × 6371000     		do = 745.109966699138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50563842--0.50544667) × cos(0.91471172) × R
    0.000191750000000046 × 0.610019030033398 × 6371000     		du = 745.223190335906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91482868)-sin(0.91471172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609926348305327-0.610019030033398)×R²
    abs(-0.50544667--0.50563842)×9.26817280704206e-05×R²
    0.000191750000000046×9.26817280704206e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.26817280704206e-05×40589641000000     		ar = 555262.486174754m²