Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13743 / 3573
↖ ↑ ↗
← N 80.199306°
W 29.014893°		 ← 207.95 m → N 80.199306°
W 29.003906°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
N 80.197436°
W 29.014893°		 ← 207.99 m →
43 247 m²		 N 80.197436°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419418334960938 y=0.109054565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419418334960938 × 215)
    floor (0.419418334960938 × 32768)
    floor (13743.5)     		tx = 13743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109054565429688 × 215)
    floor (0.109054565429688 × 32768)
    floor (3573.5)     		ty = 3573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13743 / 3573 ti = "15/13743/3573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13743/3573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13743 ÷ 215
    13743 ÷ 32768     		x = 0.419403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3573 ÷ 215
    3573 ÷ 32768     		y = 0.109039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.16119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50640541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109039306640625 × 2 - 1) × π
    0.78192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45647848413016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50640541} λ = -0.50640541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45647848413016))-π/2
    2×atan(11.6636653513888)-π/2
    2×1.48526913786748-π/2
    2.97053827573497-1.57079632675     		φ = 1.39974195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50640541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.014893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39974195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.199306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13743 KachelY 3573 -0.50640541 1.39974195 -29.014893 80.199306
    Oben rechts KachelX + 1 13744 KachelY 3573 -0.50621366 1.39974195 -29.003906 80.199306
    Unten links KachelX 13743 KachelY + 1 3574 -0.50640541 1.39970931 -29.014893 80.197436
    Unten rechts KachelX + 1 13744 KachelY + 1 3574 -0.50621366 1.39970931 -29.003906 80.197436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39974195-1.39970931) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dl = 207.949439999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39974195-1.39970931) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dr = 207.949439999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50640541--0.50621366) × cos(1.39974195) × R
    0.000191749999999935 × 0.170221432541203 × 6371000     		do = 207.949183183491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50640541--0.50621366) × cos(1.39970931) × R
    0.000191749999999935 × 0.170253596097048 × 6371000     		du = 207.98847544573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39974195)-sin(1.39970931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170221432541203-0.170253596097048)×R²
    abs(-0.50621366--0.50640541)×3.21635558446498e-05×R²
    0.000191749999999935×3.21635558446498e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.21635558446498e-05×40589641000000     		ar = 43247.0015968155m²