Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13743 / 10757
↖ ↑ ↗
← N 52.449314°
W 29.014893°		 ← 744.54 m → N 52.449314°
W 29.003906°		 →
↑
744.58 m
↓
↑
744.58 m
↓
N 52.442618°
W 29.014893°		 ← 744.66 m →
554 414 m²		 N 52.442618°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419418334960938 y=0.328292846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419418334960938 × 215)
    floor (0.419418334960938 × 32768)
    floor (13743.5)     		tx = 13743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328292846679688 × 215)
    floor (0.328292846679688 × 32768)
    floor (10757.5)     		ty = 10757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13743 / 10757 ti = "15/13743/10757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13743/10757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13743 ÷ 215
    13743 ÷ 32768     		x = 0.419403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10757 ÷ 215
    10757 ÷ 32768     		y = 0.328277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.16119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50640541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328277587890625 × 2 - 1) × π
    0.34344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07896373664822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50640541} λ = -0.50640541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07896373664822))-π/2
    2×atan(2.94162966807794)-π/2
    2×1.24310477447355-π/2
    2.4862095489471-1.57079632675     		φ = 0.91541322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50640541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.014893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91541322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.449314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13743 KachelY 10757 -0.50640541 0.91541322 -29.014893 52.449314
    Oben rechts KachelX + 1 13744 KachelY 10757 -0.50621366 0.91541322 -29.003906 52.449314
    Unten links KachelX 13743 KachelY + 1 10758 -0.50640541 0.91529635 -29.014893 52.442618
    Unten rechts KachelX + 1 13744 KachelY + 1 10758 -0.50621366 0.91529635 -29.003906 52.442618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91541322-0.91529635) × R
    0.000116870000000047 × 6371000     		dl = 744.578770000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91541322-0.91529635) × R
    0.000116870000000047 × 6371000     		dr = 744.578770000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50640541--0.50621366) × cos(0.91541322) × R
    0.000191749999999935 × 0.609463020668518 × 6371000     		do = 744.543947471971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50640541--0.50621366) × cos(0.91529635) × R
    0.000191749999999935 × 0.609555672736351 × 6371000     		du = 744.657134874629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91541322)-sin(0.91529635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609463020668518-0.609555672736351)×R²
    abs(-0.50621366--0.50640541)×9.26520678327103e-05×R²
    0.000191749999999935×9.26520678327103e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.26520678327103e-05×40589641000000     		ar = 554413.755719254m²