Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13742 / 5774
↖ ↑ ↗
← N 46.830134°
E121.948242°		 ← 1 671.60 m → N 46.830134°
E121.970215°		 →
↑
1 671.81 m
↓
↑
1 671.81 m
↓
N 46.815099°
E121.948242°		 ← 1 672.07 m →
2 794 999 m²		 N 46.815099°
E121.970215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838775634765625 y=0.352447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838775634765625 × 214)
    floor (0.838775634765625 × 16384)
    floor (13742.5)     		tx = 13742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352447509765625 × 214)
    floor (0.352447509765625 × 16384)
    floor (5774.5)     		ty = 5774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13742 / 5774 ti = "14/13742/5774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13742/5774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13742 ÷ 214
    13742 ÷ 16384     		x = 0.8387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5774 ÷ 214
    5774 ÷ 16384     		y = 0.3524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8387451171875 × 2 - 1) × π
    0.677490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.12839834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3524169921875 × 2 - 1) × π
    0.295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.927291386250366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12839834} λ = 2.12839834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927291386250366))-π/2
    2×atan(2.52765346014755)-π/2
    2×1.19406817397576-π/2
    2.38813634795153-1.57079632675     		φ = 0.81734002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12839834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81734002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.830134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13742 KachelY 5774 2.12839834 0.81734002 121.948242 46.830134
    Oben rechts KachelX + 1 13743 KachelY 5774 2.12878184 0.81734002 121.970215 46.830134
    Unten links KachelX 13742 KachelY + 1 5775 2.12839834 0.81707761 121.948242 46.815099
    Unten rechts KachelX + 1 13743 KachelY + 1 5775 2.12878184 0.81707761 121.970215 46.815099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81734002-0.81707761) × R
    0.000262409999999935 × 6371000     		dl = 1671.81410999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81734002-0.81707761) × R
    0.000262409999999935 × 6371000     		dr = 1671.81410999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12839834-2.12878184) × cos(0.81734002) × R
    0.00038349999999987 × 0.684163624753859 × 6371000     		do = 1671.6022748426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12839834-2.12878184) × cos(0.81707761) × R
    0.00038349999999987 × 0.684354984301183 × 6371000     		du = 1672.06981951035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81734002)-sin(0.81707761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684163624753859-0.684354984301183)×R²
    abs(2.12878184-2.12839834)×0.000191359547324188×R²
    0.00038349999999987×0.000191359547324188×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191359547324188×40589641000000     		ar = 2794999.10931377m²