Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13741 / 3244
↖ ↑ ↗
← N 80.795827°
W 29.036865°		 ← 195.39 m → N 80.795827°
W 29.025879°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 80.794070°
W 29.036865°		 ← 195.43 m →
38 196 m²		 N 80.794070°
W 29.025879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419357299804688 y=0.0990142822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419357299804688 × 215)
    floor (0.419357299804688 × 32768)
    floor (13741.5)     		tx = 13741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990142822265625 × 215)
    floor (0.0990142822265625 × 32768)
    floor (3244.5)     		ty = 3244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13741 / 3244 ti = "15/13741/3244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13741/3244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13741 ÷ 215
    13741 ÷ 32768     		x = 0.419342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3244 ÷ 215
    3244 ÷ 32768     		y = 0.0989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419342041015625 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50678890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0989990234375 × 2 - 1) × π
    0.802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51956344403015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50678890} λ = -0.50678890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51956344403015))-π/2
    2×atan(12.4231720696628)-π/2
    2×1.49047476711266-π/2
    2.98094953422531-1.57079632675     		φ = 1.41015321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50678890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.036865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41015321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.795827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13741 KachelY 3244 -0.50678890 1.41015321 -29.036865 80.795827
    Oben rechts KachelX + 1 13742 KachelY 3244 -0.50659716 1.41015321 -29.025879 80.795827
    Unten links KachelX 13741 KachelY + 1 3245 -0.50678890 1.41012253 -29.036865 80.794070
    Unten rechts KachelX + 1 13742 KachelY + 1 3245 -0.50659716 1.41012253 -29.025879 80.794070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41015321-1.41012253) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41015321-1.41012253) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50678890--0.50659716) × cos(1.41015321) × R
    0.000191739999999996 × 0.159953076069858 × 6371000     		do = 195.394765274693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50678890--0.50659716) × cos(1.41012253) × R
    0.000191739999999996 × 0.159983360977886 × 6371000     		du = 195.431760577571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41015321)-sin(1.41012253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159953076069858-0.159983360977886)×R²
    abs(-0.50659716--0.50678890)×3.02849080276446e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02849080276446e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02849080276446e-05×40589641000000     		ar = 38195.9219165378m²