Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13739 / 4748
↖ ↑ ↗
← N 77.739618°
W 29.058838°		 ← 259.42 m → N 77.739618°
W 29.047852°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 77.737285°
W 29.058838°		 ← 259.47 m →
67 307 m²		 N 77.737285°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419296264648438 y=0.144912719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419296264648438 × 215)
    floor (0.419296264648438 × 32768)
    floor (13739.5)     		tx = 13739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144912719726562 × 215)
    floor (0.144912719726562 × 32768)
    floor (4748.5)     		ty = 4748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13739 / 4748 ti = "15/13739/4748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13739/4748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13739 ÷ 215
    13739 ÷ 32768     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4748 ÷ 215
    4748 ÷ 32768     		y = 0.1448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1448974609375 × 2 - 1) × π
    0.710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23117505591589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23117505591589))-π/2
    2×atan(9.31080036507766)-π/2
    2×1.46380430873265-π/2
    2.9276086174653-1.57079632675     		φ = 1.35681229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35681229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.739618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13739 KachelY 4748 -0.50717240 1.35681229 -29.058838 77.739618
    Oben rechts KachelX + 1 13740 KachelY 4748 -0.50698065 1.35681229 -29.047852 77.739618
    Unten links KachelX 13739 KachelY + 1 4749 -0.50717240 1.35677157 -29.058838 77.737285
    Unten rechts KachelX + 1 13740 KachelY + 1 4749 -0.50698065 1.35677157 -29.047852 77.737285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35681229-1.35677157) × R
    4.07199999998831e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35681229-1.35677157) × R
    4.07199999998831e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(1.35681229) × R
    0.000191749999999935 × 0.21235474629617 × 6371000     		do = 259.420892999105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(1.35677157) × R
    0.000191749999999935 × 0.212394537404531 × 6371000     		du = 259.46950337888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35681229)-sin(1.35677157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21235474629617-0.212394537404531)×R²
    abs(-0.50698065--0.50717240)×3.97911083611924e-05×R²
    0.000191749999999935×3.97911083611924e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.97911083611924e-05×40589641000000     		ar = 67307.120573167m²