Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13739 / 4376
↖ ↑ ↗
← N 78.577907°
W 29.058838°		 ← 241.93 m → N 78.577907°
W 29.047852°		 →
↑
241.91 m
↓
↑
241.91 m
↓
N 78.575731°
W 29.058838°		 ← 241.97 m →
58 529 m²		 N 78.575731°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419296264648438 y=0.133560180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419296264648438 × 215)
    floor (0.419296264648438 × 32768)
    floor (13739.5)     		tx = 13739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133560180664062 × 215)
    floor (0.133560180664062 × 32768)
    floor (4376.5)     		ty = 4376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13739 / 4376 ti = "15/13739/4376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13739/4376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13739 ÷ 215
    13739 ÷ 32768     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4376 ÷ 215
    4376 ÷ 32768     		y = 0.133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133544921875 × 2 - 1) × π
    0.73291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30250516255054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30250516255054))-π/2
    2×atan(9.99920072750844)-π/2
    2×1.47111976008841-π/2
    2.94223952017682-1.57079632675     		φ = 1.37144319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37144319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.577907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13739 KachelY 4376 -0.50717240 1.37144319 -29.058838 78.577907
    Oben rechts KachelX + 1 13740 KachelY 4376 -0.50698065 1.37144319 -29.047852 78.577907
    Unten links KachelX 13739 KachelY + 1 4377 -0.50717240 1.37140522 -29.058838 78.575731
    Unten rechts KachelX + 1 13740 KachelY + 1 4377 -0.50698065 1.37140522 -29.047852 78.575731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37144319-1.37140522) × R
    3.79699999999428e-05 × 6371000     		dl = 241.906869999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37144319-1.37140522) × R
    3.79699999999428e-05 × 6371000     		dr = 241.906869999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(1.37144319) × R
    0.000191749999999935 × 0.198035320266714 × 6371000     		do = 241.927720124057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(1.37140522) × R
    0.000191749999999935 × 0.19807253812372 × 6371000     		du = 241.973186918976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37144319)-sin(1.37140522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198035320266714-0.19807253812372)×R²
    abs(-0.50698065--0.50717240)×3.72178570059445e-05×R²
    0.000191749999999935×3.72178570059445e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.72178570059445e-05×40589641000000     		ar = 58529.4769135278m²