Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13739 / 10734
↖ ↑ ↗
← N 52.603048°
W 29.058838°		 ← 741.94 m → N 52.603048°
W 29.047852°		 →
↑
742.03 m
↓
↑
742.03 m
↓
N 52.596375°
W 29.058838°		 ← 742.06 m →
550 586 m²		 N 52.596375°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419296264648438 y=0.327590942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419296264648438 × 215)
    floor (0.419296264648438 × 32768)
    floor (13739.5)     		tx = 13739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327590942382812 × 215)
    floor (0.327590942382812 × 32768)
    floor (10734.5)     		ty = 10734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13739 / 10734 ti = "15/13739/10734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13739/10734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13739 ÷ 215
    13739 ÷ 32768     		x = 0.419281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10734 ÷ 215
    10734 ÷ 32768     		y = 0.32757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32757568359375 × 2 - 1) × π
    0.3448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50717240} λ = -0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08337393141327))-π/2
    2×atan(2.95463147702211)-π/2
    2×1.24444635141137-π/2
    2.48889270282274-1.57079632675     		φ = 0.91809638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91809638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.603048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13739 KachelY 10734 -0.50717240 0.91809638 -29.058838 52.603048
    Oben rechts KachelX + 1 13740 KachelY 10734 -0.50698065 0.91809638 -29.047852 52.603048
    Unten links KachelX 13739 KachelY + 1 10735 -0.50717240 0.91797991 -29.058838 52.596375
    Unten rechts KachelX + 1 13740 KachelY + 1 10735 -0.50698065 0.91797991 -29.047852 52.596375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91809638-0.91797991) × R
    0.000116470000000035 × 6371000     		dl = 742.030370000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91809638-0.91797991) × R
    0.000116470000000035 × 6371000     		dr = 742.030370000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(0.91809638) × R
    0.000191749999999935 × 0.607333581208831 × 6371000     		do = 741.942540647519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50717240--0.50698065) × cos(0.91797991) × R
    0.000191749999999935 × 0.607426106322987 × 6371000     		du = 742.055572958583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91809638)-sin(0.91797991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607333581208831-0.607426106322987)×R²
    abs(-0.50698065--0.50717240)×9.25251141556949e-05×R²
    0.000191749999999935×9.25251141556949e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.25251141556949e-05×40589641000000     		ar = 550585.835282334m²