Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13738 / 3607
↖ ↑ ↗
← N 80.135518°
W 29.069824°		 ← 209.29 m → N 80.135518°
W 29.058838°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 80.133635°
W 29.069824°		 ← 209.33 m →
43 806 m²		 N 80.133635°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419265747070312 y=0.110092163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419265747070312 × 215)
    floor (0.419265747070312 × 32768)
    floor (13738.5)     		tx = 13738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110092163085938 × 215)
    floor (0.110092163085938 × 32768)
    floor (3607.5)     		ty = 3607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13738 / 3607 ti = "15/13738/3607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13738/3607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13738 ÷ 215
    13738 ÷ 32768     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3607 ÷ 215
    3607 ÷ 32768     		y = 0.110076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110076904296875 × 2 - 1) × π
    0.77984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44995906578183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44995906578183))-π/2
    2×atan(11.5878723690192)-π/2
    2×1.48471247946498-π/2
    2.96942495892996-1.57079632675     		φ = 1.39862863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39862863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.135518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13738 KachelY 3607 -0.50736415 1.39862863 -29.069824 80.135518
    Oben rechts KachelX + 1 13739 KachelY 3607 -0.50717240 1.39862863 -29.058838 80.135518
    Unten links KachelX 13738 KachelY + 1 3608 -0.50736415 1.39859578 -29.069824 80.133635
    Unten rechts KachelX + 1 13739 KachelY + 1 3608 -0.50717240 1.39859578 -29.058838 80.133635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39862863-1.39859578) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dl = 209.287349999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39862863-1.39859578) × R
    3.28499999999732e-05 × 6371000     		dr = 209.287349999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(1.39862863) × R
    0.000191750000000046 × 0.171318398848053 × 6371000     		do = 209.289280279986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(1.39859578) × R
    0.000191750000000046 × 0.171350763091867 × 6371000     		du = 209.328817710526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39862863)-sin(1.39859578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171318398848053-0.171350763091867)×R²
    abs(-0.50717240--0.50736415)×3.23642438140315e-05×R²
    0.000191750000000046×3.23642438140315e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.23642438140315e-05×40589641000000     		ar = 43805.7361993091m²