Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13738 / 10794
↖ ↑ ↗
← N 52.200874°
W 29.069824°		 ← 748.74 m → N 52.200874°
W 29.058838°		 →
↑
748.78 m
↓
↑
748.78 m
↓
N 52.194140°
W 29.069824°		 ← 748.85 m →
560 684 m²		 N 52.194140°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419265747070312 y=0.329421997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419265747070312 × 215)
    floor (0.419265747070312 × 32768)
    floor (13738.5)     		tx = 13738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329421997070312 × 215)
    floor (0.329421997070312 × 32768)
    floor (10794.5)     		ty = 10794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13738 / 10794 ti = "15/13738/10794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13738/10794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13738 ÷ 215
    13738 ÷ 32768     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10794 ÷ 215
    10794 ÷ 32768     		y = 0.32940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32940673828125 × 2 - 1) × π
    0.3411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07186907550446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07186907550446))-π/2
    2×atan(2.92083365991715)-π/2
    2×1.24093672278067-π/2
    2.48187344556134-1.57079632675     		φ = 0.91107712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91107712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.200874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13738 KachelY 10794 -0.50736415 0.91107712 -29.069824 52.200874
    Oben rechts KachelX + 1 13739 KachelY 10794 -0.50717240 0.91107712 -29.058838 52.200874
    Unten links KachelX 13738 KachelY + 1 10795 -0.50736415 0.91095959 -29.069824 52.194140
    Unten rechts KachelX + 1 13739 KachelY + 1 10795 -0.50717240 0.91095959 -29.058838 52.194140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91107712-0.91095959) × R
    0.000117529999999921 × 6371000     		dl = 748.783629999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91107712-0.91095959) × R
    0.000117529999999921 × 6371000     		dr = 748.783629999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(0.91107712) × R
    0.000191750000000046 × 0.612895003355115 × 6371000     		do = 748.73659222767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(0.91095959) × R
    0.000191750000000046 × 0.612987867139009 × 6371000     		du = 748.850038270979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91107712)-sin(0.91095959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612895003355115-0.612987867139009)×R²
    abs(-0.50717240--0.50736415)×9.28637838946145e-05×R²
    0.000191750000000046×9.28637838946145e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.28637838946145e-05×40589641000000     		ar = 560684.177357485m²