Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13738 / 10755
↖ ↑ ↗
← N 52.462703°
W 29.069824°		 ← 744.32 m → N 52.462703°
W 29.058838°		 →
↑
744.32 m
↓
↑
744.32 m
↓
N 52.456010°
W 29.069824°		 ← 744.43 m →
554 056 m²		 N 52.456010°
W 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419265747070312 y=0.328231811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419265747070312 × 215)
    floor (0.419265747070312 × 32768)
    floor (13738.5)     		tx = 13738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328231811523438 × 215)
    floor (0.328231811523438 × 32768)
    floor (10755.5)     		ty = 10755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13738 / 10755 ti = "15/13738/10755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13738/10755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13738 ÷ 215
    13738 ÷ 32768     		x = 0.41925048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10755 ÷ 215
    10755 ÷ 32768     		y = 0.328216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328216552734375 × 2 - 1) × π
    0.34356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07934723184518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50736415} λ = -0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07934723184518))-π/2
    2×atan(2.94275798526517)-π/2
    2×1.24322161977898-π/2
    2.48644323955796-1.57079632675     		φ = 0.91564691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91564691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.462703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13738 KachelY 10755 -0.50736415 0.91564691 -29.069824 52.462703
    Oben rechts KachelX + 1 13739 KachelY 10755 -0.50717240 0.91564691 -29.058838 52.462703
    Unten links KachelX 13738 KachelY + 1 10756 -0.50736415 0.91553008 -29.069824 52.456010
    Unten rechts KachelX + 1 13739 KachelY + 1 10756 -0.50717240 0.91553008 -29.058838 52.456010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91564691-0.91553008) × R
    0.000116829999999957 × 6371000     		dl = 744.323929999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91564691-0.91553008) × R
    0.000116829999999957 × 6371000     		dr = 744.323929999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(0.91564691) × R
    0.000191750000000046 × 0.609277731208735 × 6371000     		do = 744.317590595719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50736415--0.50717240) × cos(0.91553008) × R
    0.000191750000000046 × 0.609370368205133 × 6371000     		du = 744.430759586521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91564691)-sin(0.91553008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609277731208735-0.609370368205133)×R²
    abs(-0.50717240--0.50736415)×9.26369963979434e-05×R²
    0.000191750000000046×9.26369963979434e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.26369963979434e-05×40589641000000     		ar = 554055.512024957m²