Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13737 / 4377
↖ ↑ ↗
← N 78.575731°
W 29.080810°		 ← 241.96 m → N 78.575731°
W 29.069824°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
N 78.573554°
W 29.080810°		 ← 242.01 m →
58 568 m²		 N 78.573554°
W 29.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419235229492188 y=0.133590698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419235229492188 × 215)
    floor (0.419235229492188 × 32768)
    floor (13737.5)     		tx = 13737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133590698242188 × 215)
    floor (0.133590698242188 × 32768)
    floor (4377.5)     		ty = 4377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13737 / 4377 ti = "15/13737/4377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13737/4377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13737 ÷ 215
    13737 ÷ 32768     		x = 0.419219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4377 ÷ 215
    4377 ÷ 32768     		y = 0.133575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419219970703125 × 2 - 1) × π
    -0.16156005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50755589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133575439453125 × 2 - 1) × π
    0.73284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30231341495206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50755589} λ = -0.50755589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30231341495206))-π/2
    2×atan(9.99728358859149)-π/2
    2×1.47110077190584-π/2
    2.94220154381167-1.57079632675     		φ = 1.37140522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50755589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.080810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37140522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.575731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13737 KachelY 4377 -0.50755589 1.37140522 -29.080810 78.575731
    Oben rechts KachelX + 1 13738 KachelY 4377 -0.50736415 1.37140522 -29.069824 78.575731
    Unten links KachelX 13737 KachelY + 1 4378 -0.50755589 1.37136723 -29.080810 78.573554
    Unten rechts KachelX + 1 13738 KachelY + 1 4378 -0.50736415 1.37136723 -29.069824 78.573554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37140522-1.37136723) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37140522-1.37136723) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50755589--0.50736415) × cos(1.37140522) × R
    0.000191739999999996 × 0.19807253812372 × 6371000     		do = 241.960567717649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50755589--0.50736415) × cos(1.37136723) × R
    0.000191739999999996 × 0.198109775298758 × 6371000     		du = 242.006055739854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37140522)-sin(1.37136723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19807253812372-0.198109775298758)×R²
    abs(-0.50736415--0.50755589)×3.72371750375911e-05×R²
    0.000191739999999996×3.72371750375911e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.72371750375911e-05×40589641000000     		ar = 58568.2590533589m²