Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13736 / 3608
↖ ↑ ↗
← N 80.133635°
W 29.091797°		 ← 209.33 m → N 80.133635°
W 29.080810°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
N 80.131753°
W 29.091797°		 ← 209.37 m →
43 827 m²		 N 80.131753°
W 29.080810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419204711914062 y=0.110122680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419204711914062 × 215)
    floor (0.419204711914062 × 32768)
    floor (13736.5)     		tx = 13736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110122680664062 × 215)
    floor (0.110122680664062 × 32768)
    floor (3608.5)     		ty = 3608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13736 / 3608 ti = "15/13736/3608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13736/3608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13736 ÷ 215
    13736 ÷ 32768     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3608 ÷ 215
    3608 ÷ 32768     		y = 0.110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110107421875 × 2 - 1) × π
    0.77978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44976731818335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44976731818335))-π/2
    2×atan(11.5856506353338)-π/2
    2×1.48469605296787-π/2
    2.96939210593574-1.57079632675     		φ = 1.39859578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39859578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.133635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13736 KachelY 3608 -0.50774764 1.39859578 -29.091797 80.133635
    Oben rechts KachelX + 1 13737 KachelY 3608 -0.50755589 1.39859578 -29.080810 80.133635
    Unten links KachelX 13736 KachelY + 1 3609 -0.50774764 1.39856292 -29.091797 80.131753
    Unten rechts KachelX + 1 13737 KachelY + 1 3609 -0.50755589 1.39856292 -29.080810 80.131753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39859578-1.39856292) × R
    3.28599999999124e-05 × 6371000     		dl = 209.351059999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39859578-1.39856292) × R
    3.28599999999124e-05 × 6371000     		dr = 209.351059999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50755589) × cos(1.39859578) × R
    0.000191749999999935 × 0.171350763091867 × 6371000     		do = 209.328817710405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50755589) × cos(1.39856292) × R
    0.000191749999999935 × 0.171383137002817 × 6371000     		du = 209.368366950698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39859578)-sin(1.39856292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171350763091867-0.171383137002817)×R²
    abs(-0.50755589--0.50774764)×3.23739109500676e-05×R²
    0.000191749999999935×3.23739109500676e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.23739109500676e-05×40589641000000     		ar = 43827.3497175336m²