Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13736 / 15582
↖ ↑ ↗
← N 79.577453°
W142.272949°		 ← 55.25 m → N 79.577453°
W142.270202°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.576957°
W142.272949°		 ← 55.26 m →
3 052 m²		 N 79.576957°
W142.270202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104801177978516 y=0.118885040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104801177978516 × 217)
    floor (0.104801177978516 × 131072)
    floor (13736.5)     		tx = 13736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118885040283203 × 217)
    floor (0.118885040283203 × 131072)
    floor (15582.5)     		ty = 15582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13736 / 15582 ti = "17/13736/15582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13736/15582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13736 ÷ 217
    13736 ÷ 131072     		x = 0.10479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15582 ÷ 217
    15582 ÷ 131072     		y = 0.118881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.7904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48313140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118881225585938 × 2 - 1) × π
    0.762237548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39463988362029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48313140} λ = -2.48313140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39463988362029))-π/2
    2×atan(10.9642489424169)-π/2
    2×1.47984245048604-π/2
    2.95968490097207-1.57079632675     		φ = 1.38888857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48313140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38888857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.577453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13736 KachelY 15582 -2.48313140 1.38888857 -142.272949 79.577453
    Oben rechts KachelX + 1 13737 KachelY 15582 -2.48308346 1.38888857 -142.270202 79.577453
    Unten links KachelX 13736 KachelY + 1 15583 -2.48313140 1.38887990 -142.272949 79.576957
    Unten rechts KachelX + 1 13737 KachelY + 1 15583 -2.48308346 1.38887990 -142.270202 79.576957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38888857-1.38887990) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38888857-1.38887990) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48313140--2.48308346) × cos(1.38888857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18090618098514 × 6371000     		do = 55.253404197924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48313140--2.48308346) × cos(1.38887990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180914707926442 × 6371000     		du = 55.2560085452812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38888857)-sin(1.38887990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18090618098514-0.180914707926442)×R²
    abs(-2.48308346--2.48313140)×8.52694130221154e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.52694130221154e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.52694130221154e-06×40589641000000     		ar = 3052.08045642469m²