Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13734 / 4363
↖ ↑ ↗
← N 78.606156°
W 29.113770°		 ← 241.34 m → N 78.606156°
W 29.102783°		 →
↑
241.40 m
↓
↑
241.40 m
↓
N 78.603985°
W 29.113770°		 ← 241.38 m →
58 264 m²		 N 78.603985°
W 29.102783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419143676757812 y=0.133163452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419143676757812 × 215)
    floor (0.419143676757812 × 32768)
    floor (13734.5)     		tx = 13734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133163452148438 × 215)
    floor (0.133163452148438 × 32768)
    floor (4363.5)     		ty = 4363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13734 / 4363 ti = "15/13734/4363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13734/4363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13734 ÷ 215
    13734 ÷ 32768     		x = 0.41912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4363 ÷ 215
    4363 ÷ 32768     		y = 0.133148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133148193359375 × 2 - 1) × π
    0.73370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30499788133078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50813114} λ = -0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30499788133078))-π/2
    2×atan(10.0241570145295)-π/2
    2×1.47136628196298-π/2
    2.94273256392597-1.57079632675     		φ = 1.37193624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37193624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.606156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13734 KachelY 4363 -0.50813114 1.37193624 -29.113770 78.606156
    Oben rechts KachelX + 1 13735 KachelY 4363 -0.50793939 1.37193624 -29.102783 78.606156
    Unten links KachelX 13734 KachelY + 1 4364 -0.50813114 1.37189835 -29.113770 78.603985
    Unten rechts KachelX + 1 13735 KachelY + 1 4364 -0.50793939 1.37189835 -29.102783 78.603985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37193624-1.37189835) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dl = 241.397189999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37193624-1.37189835) × R
    3.78899999999849e-05 × 6371000     		dr = 241.397189999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50813114--0.50793939) × cos(1.37193624) × R
    0.000191750000000046 × 0.197552011127386 × 6371000     		do = 241.337290709709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50813114--0.50793939) × cos(1.37189835) × R
    0.000191750000000046 × 0.197589154264864 × 6371000     		du = 241.382666224321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37193624)-sin(1.37189835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197552011127386-0.197589154264864)×R²
    abs(-0.50793939--0.50813114)×3.71431374781295e-05×R²
    0.000191750000000046×3.71431374781295e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.71431374781295e-05×40589641000000     		ar = 58263.6205866552m²