Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13733 / 4467
↖ ↑ ↗
← N 78.378218°
W 29.124756°		 ← 246.09 m → N 78.378218°
W 29.113770°		 →
↑
246.18 m
↓
↑
246.18 m
↓
N 78.376004°
W 29.124756°		 ← 246.13 m →
60 586 m²		 N 78.376004°
W 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419113159179688 y=0.136337280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419113159179688 × 215)
    floor (0.419113159179688 × 32768)
    floor (13733.5)     		tx = 13733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136337280273438 × 215)
    floor (0.136337280273438 × 32768)
    floor (4467.5)     		ty = 4467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13733 / 4467 ti = "15/13733/4467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13733/4467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13733 ÷ 215
    13733 ÷ 32768     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4467 ÷ 215
    4467 ÷ 32768     		y = 0.136322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136322021484375 × 2 - 1) × π
    0.72735595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28505613108884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28505613108884))-π/2
    2×atan(9.82623776596287)-π/2
    2×1.46937714141662-π/2
    2.93875428283323-1.57079632675     		φ = 1.36795796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36795796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.378218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13733 KachelY 4467 -0.50832288 1.36795796 -29.124756 78.378218
    Oben rechts KachelX + 1 13734 KachelY 4467 -0.50813114 1.36795796 -29.113770 78.378218
    Unten links KachelX 13733 KachelY + 1 4468 -0.50832288 1.36791932 -29.124756 78.376004
    Unten rechts KachelX + 1 13734 KachelY + 1 4468 -0.50813114 1.36791932 -29.113770 78.376004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36795796-1.36791932) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dl = 246.175440000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36795796-1.36791932) × R
    3.86400000000897e-05 × 6371000     		dr = 246.175440000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50813114) × cos(1.36795796) × R
    0.000191739999999996 × 0.201450315219313 × 6371000     		do = 246.086777597197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50813114) × cos(1.36791932) × R
    0.000191739999999996 × 0.201488162900009 × 6371000     		du = 246.133011398182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36795796)-sin(1.36791932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201450315219313-0.201488162900009)×R²
    abs(-0.50813114--0.50832288)×3.78476806964234e-05×R²
    0.000191739999999996×3.78476806964234e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.78476806964234e-05×40589641000000     		ar = 60586.2115734273m²