Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13732 / 4358
↖ ↑ ↗
← N 78.617003°
W 29.135742°		 ← 241.11 m → N 78.617003°
W 29.124756°		 →
↑
241.14 m
↓
↑
241.14 m
↓
N 78.614834°
W 29.135742°		 ← 241.16 m →
58 147 m²		 N 78.614834°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419082641601562 y=0.133010864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419082641601562 × 215)
    floor (0.419082641601562 × 32768)
    floor (13732.5)     		tx = 13732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133010864257812 × 215)
    floor (0.133010864257812 × 32768)
    floor (4358.5)     		ty = 4358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13732 / 4358 ti = "15/13732/4358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13732/4358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13732 ÷ 215
    13732 ÷ 32768     		x = 0.4190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4358 ÷ 215
    4358 ÷ 32768     		y = 0.13299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13299560546875 × 2 - 1) × π
    0.7340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30595661932318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50851463} λ = -0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30595661932318))-π/2
    2×atan(10.0337721631688)-π/2
    2×1.47146093778524-π/2
    2.94292187557047-1.57079632675     		φ = 1.37212555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37212555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.617003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13732 KachelY 4358 -0.50851463 1.37212555 -29.135742 78.617003
    Oben rechts KachelX + 1 13733 KachelY 4358 -0.50832288 1.37212555 -29.124756 78.617003
    Unten links KachelX 13732 KachelY + 1 4359 -0.50851463 1.37208770 -29.135742 78.614834
    Unten rechts KachelX + 1 13733 KachelY + 1 4359 -0.50832288 1.37208770 -29.124756 78.614834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37212555-1.37208770) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dl = 241.142350000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37212555-1.37208770) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dr = 241.142350000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50851463--0.50832288) × cos(1.37212555) × R
    0.000191749999999935 × 0.197366428432994 × 6371000     		do = 241.11057560598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50851463--0.50832288) × cos(1.37208770) × R
    0.000191749999999935 × 0.19740353377408 × 6371000     		du = 241.155904947035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37212555)-sin(1.37208770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197366428432994-0.19740353377408)×R²
    abs(-0.50832288--0.50851463)×3.71053410851141e-05×R²
    0.000191749999999935×3.71053410851141e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.71053410851141e-05×40589641000000     		ar = 58147.4362301971m²