Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13731 / 4683
↖ ↑ ↗
← N 77.890343°
W 29.146729°		 ← 256.28 m → N 77.890343°
W 29.135742°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
N 77.888038°
W 29.146729°		 ← 256.33 m →
65 692 m²		 N 77.888038°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419052124023438 y=0.142929077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419052124023438 × 215)
    floor (0.419052124023438 × 32768)
    floor (13731.5)     		tx = 13731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142929077148438 × 215)
    floor (0.142929077148438 × 32768)
    floor (4683.5)     		ty = 4683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13731 / 4683 ti = "15/13731/4683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13731/4683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13731 ÷ 215
    13731 ÷ 32768     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4683 ÷ 215
    4683 ÷ 32768     		y = 0.142913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142913818359375 × 2 - 1) × π
    0.71417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24363864981711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24363864981711))-π/2
    2×atan(9.42757258888758)-π/2
    2×1.46511963271495-π/2
    2.93023926542991-1.57079632675     		φ = 1.35944294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35944294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.890343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13731 KachelY 4683 -0.50870638 1.35944294 -29.146729 77.890343
    Oben rechts KachelX + 1 13732 KachelY 4683 -0.50851463 1.35944294 -29.135742 77.890343
    Unten links KachelX 13731 KachelY + 1 4684 -0.50870638 1.35940271 -29.146729 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 13732 KachelY + 1 4684 -0.50851463 1.35940271 -29.135742 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35944294-1.35940271) × R
    4.02300000001965e-05 × 6371000     		dl = 256.305330001252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35944294-1.35940271) × R
    4.02300000001965e-05 × 6371000     		dr = 256.305330001252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.35944294) × R
    0.000191750000000046 × 0.209783362653643 × 6371000     		do = 256.279589814736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.35940271) × R
    0.000191750000000046 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 256.327642540102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35944294)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209783362653643-0.209822697281575)×R²
    abs(-0.50851463--0.50870638)×3.93346279316253e-05×R²
    0.000191750000000046×3.93346279316253e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.93346279316253e-05×40589641000000     		ar = 65691.9829335727m²