Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13731 / 4577
↖ ↑ ↗
← N 78.132234°
W 29.146729°		 ← 251.23 m → N 78.132234°
W 29.135742°		 →
↑
251.27 m
↓
↑
251.27 m
↓
N 78.129975°
W 29.146729°		 ← 251.28 m →
63 134 m²		 N 78.129975°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419052124023438 y=0.139694213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419052124023438 × 215)
    floor (0.419052124023438 × 32768)
    floor (13731.5)     		tx = 13731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139694213867188 × 215)
    floor (0.139694213867188 × 32768)
    floor (4577.5)     		ty = 4577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13731 / 4577 ti = "15/13731/4577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13731/4577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13731 ÷ 215
    13731 ÷ 32768     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4577 ÷ 215
    4577 ÷ 32768     		y = 0.139678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139678955078125 × 2 - 1) × π
    0.72064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26396389525601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26396389525601))-π/2
    2×atan(9.62115091500512)-π/2
    2×1.46723053115316-π/2
    2.93446106230632-1.57079632675     		φ = 1.36366474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36366474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.132234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13731 KachelY 4577 -0.50870638 1.36366474 -29.146729 78.132234
    Oben rechts KachelX + 1 13732 KachelY 4577 -0.50851463 1.36366474 -29.135742 78.132234
    Unten links KachelX 13731 KachelY + 1 4578 -0.50870638 1.36362530 -29.146729 78.129975
    Unten rechts KachelX + 1 13732 KachelY + 1 4578 -0.50851463 1.36362530 -29.135742 78.129975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36366474-1.36362530) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dl = 251.272239999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36366474-1.36362530) × R
    3.94399999998907e-05 × 6371000     		dr = 251.272239999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.36366474) × R
    0.000191750000000046 × 0.20565364932034 × 6371000     		do = 251.234569915524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.36362530) × R
    0.000191750000000046 × 0.205692246124052 × 6371000     		du = 251.281721285863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36366474)-sin(1.36362530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20565364932034-0.205692246124052)×R²
    abs(-0.50851463--0.50870638)×3.85968037119599e-05×R²
    0.000191750000000046×3.85968037119599e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.85968037119599e-05×40589641000000     		ar = 63134.1970713326m²