Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13731 / 4394
↖ ↑ ↗
← N 78.538679°
W 29.146729°		 ← 242.75 m → N 78.538679°
W 29.135742°		 →
↑
242.80 m
↓
↑
242.80 m
↓
N 78.536495°
W 29.146729°		 ← 242.79 m →
58 944 m²		 N 78.536495°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419052124023438 y=0.134109497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419052124023438 × 215)
    floor (0.419052124023438 × 32768)
    floor (13731.5)     		tx = 13731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134109497070312 × 215)
    floor (0.134109497070312 × 32768)
    floor (4394.5)     		ty = 4394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13731 / 4394 ti = "15/13731/4394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13731/4394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13731 ÷ 215
    13731 ÷ 32768     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4394 ÷ 215
    4394 ÷ 32768     		y = 0.13409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13409423828125 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29905370577789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29905370577789))-π/2
    2×atan(9.96474840798349)-π/2
    2×1.4707774261987-π/2
    2.94155485239741-1.57079632675     		φ = 1.37075853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37075853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.538679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13731 KachelY 4394 -0.50870638 1.37075853 -29.146729 78.538679
    Oben rechts KachelX + 1 13732 KachelY 4394 -0.50851463 1.37075853 -29.135742 78.538679
    Unten links KachelX 13731 KachelY + 1 4395 -0.50870638 1.37072042 -29.146729 78.536495
    Unten rechts KachelX + 1 13732 KachelY + 1 4395 -0.50851463 1.37072042 -29.135742 78.536495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37075853-1.37072042) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dl = 242.798809999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37075853-1.37072042) × R
    3.81099999999801e-05 × 6371000     		dr = 242.798809999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.37075853) × R
    0.000191750000000046 × 0.198706374028571 × 6371000     		do = 242.747505738541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50851463) × cos(1.37072042) × R
    0.000191750000000046 × 0.198743723935348 × 6371000     		du = 242.793133850644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37075853)-sin(1.37072042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198706374028571-0.198743723935348)×R²
    abs(-0.50851463--0.50870638)×3.73499067775895e-05×R²
    0.000191750000000046×3.73499067775895e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.73499067775895e-05×40589641000000     		ar = 58944.344756524m²