Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13728 / 10699
↖ ↑ ↗
← N 52.835958°
W 29.179687°		 ← 737.99 m → N 52.835958°
W 29.168701°		 →
↑
738.02 m
↓
↑
738.02 m
↓
N 52.829321°
W 29.179687°		 ← 738.10 m →
544 691 m²		 N 52.829321°
W 29.168701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418960571289062 y=0.326522827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418960571289062 × 215)
    floor (0.418960571289062 × 32768)
    floor (13728.5)     		tx = 13728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326522827148438 × 215)
    floor (0.326522827148438 × 32768)
    floor (10699.5)     		ty = 10699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13728 / 10699 ti = "15/13728/10699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13728/10699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13728 ÷ 215
    13728 ÷ 32768     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10699 ÷ 215
    10699 ÷ 32768     		y = 0.326507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326507568359375 × 2 - 1) × π
    0.34698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09008509736008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09008509736008))-π/2
    2×atan(2.97452718620428)-π/2
    2×1.24647888082801-π/2
    2.49295776165601-1.57079632675     		φ = 0.92216143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92216143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.835958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13728 KachelY 10699 -0.50928162 0.92216143 -29.179687 52.835958
    Oben rechts KachelX + 1 13729 KachelY 10699 -0.50908987 0.92216143 -29.168701 52.835958
    Unten links KachelX 13728 KachelY + 1 10700 -0.50928162 0.92204559 -29.179687 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 13729 KachelY + 1 10700 -0.50908987 0.92204559 -29.168701 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92216143-0.92204559) × R
    0.000115839999999978 × 6371000     		dl = 738.016639999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92216143-0.92204559) × R
    0.000115839999999978 × 6371000     		dr = 738.016639999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50908987) × cos(0.92216143) × R
    0.000191749999999935 × 0.604099105644241 × 6371000     		do = 737.991178344652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50908987) × cos(0.92204559) × R
    0.000191749999999935 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 738.103947751631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92216143)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604099105644241-0.604191415552408)×R²
    abs(-0.50908987--0.50928162)×9.23099081664436e-05×R²
    0.000191749999999935×9.23099081664436e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.23099081664436e-05×40589641000000     		ar = 544691.383250721m²