Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13727 / 4156
↖ ↑ ↗
← N 79.046791°
W 29.190674°		 ← 232.12 m → N 79.046791°
W 29.179687°		 →
↑
232.16 m
↓
↑
232.16 m
↓
N 79.044703°
W 29.190674°		 ← 232.16 m →
53 894 m²		 N 79.044703°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418930053710938 y=0.126846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418930053710938 × 215)
    floor (0.418930053710938 × 32768)
    floor (13727.5)     		tx = 13727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126846313476562 × 215)
    floor (0.126846313476562 × 32768)
    floor (4156.5)     		ty = 4156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13727 / 4156 ti = "15/13727/4156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13727/4156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13727 ÷ 215
    13727 ÷ 32768     		x = 0.418914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4156 ÷ 215
    4156 ÷ 32768     		y = 0.1268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50947337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1268310546875 × 2 - 1) × π
    0.746337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34468963421619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50947337} λ = -0.50947337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34468963421619))-π/2
    2×atan(10.4300350991316)-π/2
    2×1.47521154206273-π/2
    2.95042308412545-1.57079632675     		φ = 1.37962676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50947337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.190674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37962676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.046791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13727 KachelY 4156 -0.50947337 1.37962676 -29.190674 79.046791
    Oben rechts KachelX + 1 13728 KachelY 4156 -0.50928162 1.37962676 -29.179687 79.046791
    Unten links KachelX 13727 KachelY + 1 4157 -0.50947337 1.37959032 -29.190674 79.044703
    Unten rechts KachelX + 1 13728 KachelY + 1 4157 -0.50928162 1.37959032 -29.179687 79.044703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37962676-1.37959032) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dl = 232.159240000876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37962676-1.37959032) × R
    3.64400000001375e-05 × 6371000     		dr = 232.159240000876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50947337--0.50928162) × cos(1.37962676) × R
    0.000191750000000046 × 0.19000728509175 × 6371000     		do = 232.120357254078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50947337--0.50928162) × cos(1.37959032) × R
    0.000191750000000046 × 0.190043061126465 × 6371000     		du = 232.164062662294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37962676)-sin(1.37959032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19000728509175-0.190043061126465)×R²
    abs(-0.50928162--0.50947337)×3.57760347146352e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57760347146352e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57760347146352e-05×40589641000000     		ar = 53893.9590419287m²