Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13727 / 4147
↖ ↑ ↗
← N 79.065562°
W 29.190674°		 ← 231.73 m → N 79.065562°
W 29.179687°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
N 79.063478°
W 29.190674°		 ← 231.77 m →
53 699 m²		 N 79.063478°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418930053710938 y=0.126571655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418930053710938 × 215)
    floor (0.418930053710938 × 32768)
    floor (13727.5)     		tx = 13727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126571655273438 × 215)
    floor (0.126571655273438 × 32768)
    floor (4147.5)     		ty = 4147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13727 / 4147 ti = "15/13727/4147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13727/4147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13727 ÷ 215
    13727 ÷ 32768     		x = 0.418914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4147 ÷ 215
    4147 ÷ 32768     		y = 0.126556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50947337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126556396484375 × 2 - 1) × π
    0.74688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34641536260251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50947337} λ = -0.50947337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34641536260251))-π/2
    2×atan(10.4480500467549)-π/2
    2×1.47537535373335-π/2
    2.95075070746671-1.57079632675     		φ = 1.37995438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50947337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.190674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37995438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.065562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13727 KachelY 4147 -0.50947337 1.37995438 -29.190674 79.065562
    Oben rechts KachelX + 1 13728 KachelY 4147 -0.50928162 1.37995438 -29.179687 79.065562
    Unten links KachelX 13727 KachelY + 1 4148 -0.50947337 1.37991801 -29.190674 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 13728 KachelY + 1 4148 -0.50928162 1.37991801 -29.179687 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37995438-1.37991801) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dl = 231.713270000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37995438-1.37991801) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dr = 231.713270000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50947337--0.50928162) × cos(1.37995438) × R
    0.000191750000000046 × 0.189685623258536 × 6371000     		do = 231.727402533396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50947337--0.50928162) × cos(1.37991801) × R
    0.000191750000000046 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 231.771026749064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37995438)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189685623258536-0.189721332831283)×R²
    abs(-0.50928162--0.50947337)×3.57095727469003e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57095727469003e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57095727469003e-05×40589641000000     		ar = 53699.3683504232m²