Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13727 / 15587
↖ ↑ ↗
← N 79.574969°
W142.297668°		 ← 55.25 m → N 79.574969°
W142.294922°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.574472°
W142.297668°		 ← 55.26 m →
3 056 m²		 N 79.574472°
W142.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104732513427734 y=0.118923187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104732513427734 × 217)
    floor (0.104732513427734 × 131072)
    floor (13727.5)     		tx = 13727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118923187255859 × 217)
    floor (0.118923187255859 × 131072)
    floor (15587.5)     		ty = 15587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13727 / 15587 ti = "17/13727/15587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13727/15587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13727 ÷ 217
    13727 ÷ 131072     		x = 0.104728698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15587 ÷ 217
    15587 ÷ 131072     		y = 0.118919372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104728698730469 × 2 - 1) × π
    -0.790542602539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.48356283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118919372558594 × 2 - 1) × π
    0.762161254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.39440019912218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48356283} λ = -2.48356283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39440019912218))-π/2
    2×atan(10.9616212968276)-π/2
    2×1.4798207677274-π/2
    2.95964153545481-1.57079632675     		φ = 1.38884521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48356283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.297668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38884521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.574969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13727 KachelY 15587 -2.48356283 1.38884521 -142.297668 79.574969
    Oben rechts KachelX + 1 13728 KachelY 15587 -2.48351490 1.38884521 -142.294922 79.574969
    Unten links KachelX 13727 KachelY + 1 15588 -2.48356283 1.38883653 -142.297668 79.574472
    Unten rechts KachelX + 1 13728 KachelY + 1 15588 -2.48351490 1.38883653 -142.294922 79.574472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38884521-1.38883653) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dl = 55.3002799991853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38884521-1.38883653) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dr = 55.3002799991853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48356283--2.48351490) × cos(1.38884521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180948825390578 × 6371000     		do = 55.2549006474163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48356283--2.48351490) × cos(1.38883653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180957362098772 × 6371000     		du = 55.2575074339599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38884521)-sin(1.38883653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180948825390578-0.180957362098772)×R²
    abs(-2.48351490--2.48356283)×8.5367081936738e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.5367081936738e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.5367081936738e-06×40589641000000     		ar = 3055.68355511751m²