Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13726 / 4438
↖ ↑ ↗
← N 78.442226°
W 29.201660°		 ← 244.76 m → N 78.442226°
W 29.190674°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
N 78.440024°
W 29.201660°		 ← 244.81 m →
59 917 m²		 N 78.440024°
W 29.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418899536132812 y=0.135452270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418899536132812 × 215)
    floor (0.418899536132812 × 32768)
    floor (13726.5)     		tx = 13726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135452270507812 × 215)
    floor (0.135452270507812 × 32768)
    floor (4438.5)     		ty = 4438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13726 / 4438 ti = "15/13726/4438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13726/4438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13726 ÷ 215
    13726 ÷ 32768     		x = 0.41888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4438 ÷ 215
    4438 ÷ 32768     		y = 0.13543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13543701171875 × 2 - 1) × π
    0.7291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29061681144476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50966512} λ = -0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29061681144476))-π/2
    2×atan(9.88103053462896)-π/2
    2×1.46993571913822-π/2
    2.93987143827645-1.57079632675     		φ = 1.36907511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36907511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.442226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13726 KachelY 4438 -0.50966512 1.36907511 -29.201660 78.442226
    Oben rechts KachelX + 1 13727 KachelY 4438 -0.50947337 1.36907511 -29.190674 78.442226
    Unten links KachelX 13726 KachelY + 1 4439 -0.50966512 1.36903669 -29.201660 78.440024
    Unten rechts KachelX + 1 13727 KachelY + 1 4439 -0.50947337 1.36903669 -29.190674 78.440024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36907511-1.36903669) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dl = 244.773820000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36907511-1.36903669) × R
    3.84200000000945e-05 × 6371000     		dr = 244.773820000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50966512--0.50947337) × cos(1.36907511) × R
    0.000191749999999935 × 0.200355942728483 × 6371000     		do = 244.762683607783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50966512--0.50947337) × cos(1.36903669) × R
    0.000191749999999935 × 0.200393583544918 × 6371000     		du = 244.808667106542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36907511)-sin(1.36903669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200355942728483-0.200393583544918)×R²
    abs(-0.50947337--0.50966512)×3.76408164349806e-05×R²
    0.000191749999999935×3.76408164349806e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.76408164349806e-05×40589641000000     		ar = 59917.1248465878m²