Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13726 / 15585
↖ ↑ ↗
← N 79.575963°
W142.300415°		 ← 55.26 m → N 79.575963°
W142.297668°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.575466°
W142.300415°		 ← 55.26 m →
3 056 m²		 N 79.575466°
W142.297668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104724884033203 y=0.118907928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104724884033203 × 217)
    floor (0.104724884033203 × 131072)
    floor (13726.5)     		tx = 13726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118907928466797 × 217)
    floor (0.118907928466797 × 131072)
    floor (15585.5)     		ty = 15585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13726 / 15585 ti = "17/13726/15585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13726/15585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13726 ÷ 217
    13726 ÷ 131072     		x = 0.104721069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15585 ÷ 217
    15585 ÷ 131072     		y = 0.118904113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104721069335938 × 2 - 1) × π
    -0.790557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48361077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118904113769531 × 2 - 1) × π
    0.762191772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39449607292143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48361077} λ = -2.48361077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39449607292143))-π/2
    2×atan(10.9626722794872)-π/2
    2×1.47982944144421-π/2
    2.95965888288842-1.57079632675     		φ = 1.38886256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48361077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38886256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.575963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13726 KachelY 15585 -2.48361077 1.38886256 -142.300415 79.575963
    Oben rechts KachelX + 1 13727 KachelY 15585 -2.48356283 1.38886256 -142.297668 79.575963
    Unten links KachelX 13726 KachelY + 1 15586 -2.48361077 1.38885388 -142.300415 79.575466
    Unten rechts KachelX + 1 13727 KachelY + 1 15586 -2.48356283 1.38885388 -142.297668 79.575466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38886256-1.38885388) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dl = 55.3002799991853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38886256-1.38885388) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dr = 55.3002799991853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48361077--2.48356283) × cos(1.38886256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180931761768248 × 6371000     		do = 55.2612172275348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48361077--2.48356283) × cos(1.38885388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180940298503692 × 6371000     		du = 55.2638245662748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38886256)-sin(1.38885388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180931761768248-0.180940298503692)×R²
    abs(-2.48356283--2.48361077)×8.53673544357059e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.53673544357059e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.53673544357059e-06×40589641000000     		ar = 3056.0328789073m²