Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13726 / 10764
↖ ↑ ↗
← N 52.402419°
W 29.201660°		 ← 745.34 m → N 52.402419°
W 29.190674°		 →
↑
745.41 m
↓
↑
745.41 m
↓
N 52.395716°
W 29.201660°		 ← 745.45 m →
555 621 m²		 N 52.395716°
W 29.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418899536132812 y=0.328506469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418899536132812 × 215)
    floor (0.418899536132812 × 32768)
    floor (13726.5)     		tx = 13726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328506469726562 × 215)
    floor (0.328506469726562 × 32768)
    floor (10764.5)     		ty = 10764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13726 / 10764 ti = "15/13726/10764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13726/10764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13726 ÷ 215
    13726 ÷ 32768     		x = 0.41888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10764 ÷ 215
    10764 ÷ 32768     		y = 0.3284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3284912109375 × 2 - 1) × π
    0.343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07762150345886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50966512} λ = -0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07762150345886))-π/2
    2×atan(2.93768396372668)-π/2
    2×1.24269553606808-π/2
    2.48539107213616-1.57079632675     		φ = 0.91459475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91459475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.402419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13726 KachelY 10764 -0.50966512 0.91459475 -29.201660 52.402419
    Oben rechts KachelX + 1 13727 KachelY 10764 -0.50947337 0.91459475 -29.190674 52.402419
    Unten links KachelX 13726 KachelY + 1 10765 -0.50966512 0.91447775 -29.201660 52.395716
    Unten rechts KachelX + 1 13727 KachelY + 1 10765 -0.50947337 0.91447775 -29.190674 52.395716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91459475-0.91447775) × R
    0.000117000000000034 × 6371000     		dl = 745.407000000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91459475-0.91447775) × R
    0.000117000000000034 × 6371000     		dr = 745.407000000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50966512--0.50947337) × cos(0.91459475) × R
    0.000191749999999935 × 0.610111711339781 × 6371000     		do = 745.336413457094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50966512--0.50947337) × cos(0.91447775) × R
    0.000191749999999935 × 0.610204408065948 × 6371000     		du = 745.449655416126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91459475)-sin(0.91447775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610111711339781-0.610204408065948)×R²
    abs(-0.50947337--0.50966512)×9.26967261668521e-05×R²
    0.000191749999999935×9.26967261668521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.26967261668521e-05×40589641000000     		ar = 555621.186253936m²