Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13722 / 4133
↖ ↑ ↗
← N 79.094699°
W 29.245606°		 ← 231.12 m → N 79.094699°
W 29.234619°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
N 79.092620°
W 29.245606°		 ← 231.16 m →
53 411 m²		 N 79.092620°
W 29.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418777465820312 y=0.126144409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418777465820312 × 215)
    floor (0.418777465820312 × 32768)
    floor (13722.5)     		tx = 13722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126144409179688 × 215)
    floor (0.126144409179688 × 32768)
    floor (4133.5)     		ty = 4133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13722 / 4133 ti = "15/13722/4133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13722/4133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13722 ÷ 215
    13722 ÷ 32768     		x = 0.41876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4133 ÷ 215
    4133 ÷ 32768     		y = 0.126129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126129150390625 × 2 - 1) × π
    0.74774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34909982898123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51043211} λ = -0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34909982898123))-π/2
    2×atan(10.4761351657415)-π/2
    2×1.47562962082373-π/2
    2.95125924164745-1.57079632675     		φ = 1.38046291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38046291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.094699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13722 KachelY 4133 -0.51043211 1.38046291 -29.245606 79.094699
    Oben rechts KachelX + 1 13723 KachelY 4133 -0.51024036 1.38046291 -29.234619 79.094699
    Unten links KachelX 13722 KachelY + 1 4134 -0.51043211 1.38042664 -29.245606 79.092620
    Unten rechts KachelX + 1 13723 KachelY + 1 4134 -0.51024036 1.38042664 -29.234619 79.092620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38046291-1.38042664) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dl = 231.076170000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38046291-1.38042664) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dr = 231.076170000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51043211--0.51024036) × cos(1.38046291) × R
    0.000191750000000046 × 0.189186301177666 × 6371000     		do = 231.117411081014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51043211--0.51024036) × cos(1.38042664) × R
    0.000191750000000046 × 0.189221916060972 × 6371000     		du = 231.160919620345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38046291)-sin(1.38042664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189186301177666-0.189221916060972)×R²
    abs(-0.51024036--0.51043211)×3.56148833060288e-05×R²
    0.000191750000000046×3.56148833060288e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.56148833060288e-05×40589641000000     		ar = 53410.7530722322m²