Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13721 / 10771
↖ ↑ ↗
← N 52.355474°
W 29.256592°		 ← 746.09 m → N 52.355474°
W 29.245606°		 →
↑
746.17 m
↓
↑
746.17 m
↓
N 52.348763°
W 29.256592°		 ← 746.20 m →
556 754 m²		 N 52.348763°
W 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418746948242188 y=0.328720092773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418746948242188 × 215)
    floor (0.418746948242188 × 32768)
    floor (13721.5)     		tx = 13721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328720092773438 × 215)
    floor (0.328720092773438 × 32768)
    floor (10771.5)     		ty = 10771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13721 / 10771 ti = "15/13721/10771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13721/10771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13721 ÷ 215
    13721 ÷ 32768     		x = 0.418731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10771 ÷ 215
    10771 ÷ 32768     		y = 0.328704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.16253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51062385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328704833984375 × 2 - 1) × π
    0.34259033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0762792702695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51062385} λ = -0.51062385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0762792702695))-π/2
    2×atan(2.93374355187808)-π/2
    2×1.24228586221758-π/2
    2.48457172443517-1.57079632675     		φ = 0.91377540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51062385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.256592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91377540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.355474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13721 KachelY 10771 -0.51062385 0.91377540 -29.256592 52.355474
    Oben rechts KachelX + 1 13722 KachelY 10771 -0.51043211 0.91377540 -29.245606 52.355474
    Unten links KachelX 13721 KachelY + 1 10772 -0.51062385 0.91365828 -29.256592 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 13722 KachelY + 1 10772 -0.51043211 0.91365828 -29.245606 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91377540-0.91365828) × R
    0.000117119999999971 × 6371000     		dl = 746.171519999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91377540-0.91365828) × R
    0.000117119999999971 × 6371000     		dr = 746.171519999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51062385--0.51043211) × cos(0.91377540) × R
    0.000191739999999996 × 0.610760690099066 × 6371000     		do = 746.090319818523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51062385--0.51043211) × cos(0.91365828) × R
    0.000191739999999996 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 746.203600442225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91377540)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610760690099066-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.51043211--0.51062385)×9.27332121454238e-05×R²
    0.000191739999999996×9.27332121454238e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.27332121454238e-05×40589641000000     		ar = 556753.612020245m²