Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13719 / 4407
↖ ↑ ↗
← N 78.510264°
W 29.278564°		 ← 243.34 m → N 78.510264°
W 29.267578°		 →
↑
243.37 m
↓
↑
243.37 m
↓
N 78.508075°
W 29.278564°		 ← 243.39 m →
59 228 m²		 N 78.508075°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418685913085938 y=0.134506225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418685913085938 × 215)
    floor (0.418685913085938 × 32768)
    floor (13719.5)     		tx = 13719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134506225585938 × 215)
    floor (0.134506225585938 × 32768)
    floor (4407.5)     		ty = 4407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13719 / 4407 ti = "15/13719/4407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13719/4407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13719 ÷ 215
    13719 ÷ 32768     		x = 0.418670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4407 ÷ 215
    4407 ÷ 32768     		y = 0.134490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51100735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134490966796875 × 2 - 1) × π
    0.73101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29656098699765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51100735} λ = -0.51100735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29656098699765))-π/2
    2×atan(9.93994002549286)-π/2
    2×1.47052946388425-π/2
    2.94105892776849-1.57079632675     		φ = 1.37026260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51100735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.278564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37026260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.510264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13719 KachelY 4407 -0.51100735 1.37026260 -29.278564 78.510264
    Oben rechts KachelX + 1 13720 KachelY 4407 -0.51081560 1.37026260 -29.267578 78.510264
    Unten links KachelX 13719 KachelY + 1 4408 -0.51100735 1.37022440 -29.278564 78.508075
    Unten rechts KachelX + 1 13720 KachelY + 1 4408 -0.51081560 1.37022440 -29.267578 78.508075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37026260-1.37022440) × R
    3.82000000000993e-05 × 6371000     		dl = 243.372200000632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37026260-1.37022440) × R
    3.82000000000993e-05 × 6371000     		dr = 243.372200000632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51100735--0.51081560) × cos(1.37026260) × R
    0.000191749999999935 × 0.199192390266704 × 6371000     		do = 243.341242251042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51100735--0.51081560) × cos(1.37022440) × R
    0.000191749999999935 × 0.199229824608759 × 6371000     		du = 243.386973512594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37026260)-sin(1.37022440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199192390266704-0.199229824608759)×R²
    abs(-0.51081560--0.51100735)×3.74343420549705e-05×R²
    0.000191749999999935×3.74343420549705e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.74343420549705e-05×40589641000000     		ar = 59228.0583442178m²