Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13719 / 3582
↖ ↑ ↗
← N 80.182461°
W 29.278564°		 ← 208.30 m → N 80.182461°
W 29.267578°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 80.180587°
W 29.278564°		 ← 208.34 m →
43 400 m²		 N 80.180587°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418685913085938 y=0.109329223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418685913085938 × 215)
    floor (0.418685913085938 × 32768)
    floor (13719.5)     		tx = 13719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109329223632812 × 215)
    floor (0.109329223632812 × 32768)
    floor (3582.5)     		ty = 3582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13719 / 3582 ti = "15/13719/3582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13719/3582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13719 ÷ 215
    13719 ÷ 32768     		x = 0.418670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3582 ÷ 215
    3582 ÷ 32768     		y = 0.10931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51100735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10931396484375 × 2 - 1) × π
    0.7813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45475275574384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51100735} λ = -0.51100735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45475275574384))-π/2
    2×atan(11.643554391022)-π/2
    2×1.48512213493268-π/2
    2.97024426986536-1.57079632675     		φ = 1.39944794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51100735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.278564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39944794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.182461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13719 KachelY 3582 -0.51100735 1.39944794 -29.278564 80.182461
    Oben rechts KachelX + 1 13720 KachelY 3582 -0.51081560 1.39944794 -29.267578 80.182461
    Unten links KachelX 13719 KachelY + 1 3583 -0.51100735 1.39941524 -29.278564 80.180587
    Unten rechts KachelX + 1 13720 KachelY + 1 3583 -0.51081560 1.39941524 -29.267578 80.180587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39944794-1.39941524) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39944794-1.39941524) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51100735--0.51081560) × cos(1.39944794) × R
    0.000191749999999935 × 0.170511144350081 × 6371000     		do = 208.303106500405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51100735--0.51081560) × cos(1.39941524) × R
    0.000191749999999935 × 0.170543365391865 × 6371000     		du = 208.342468989723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39944794)-sin(1.39941524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170511144350081-0.170543365391865)×R²
    abs(-0.51081560--0.51100735)×3.22210417832147e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22210417832147e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22210417832147e-05×40589641000000     		ar = 43400.2405234097m²