Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13717 / 4212
↖ ↑ ↗
← N 78.929273°
W 29.300537°		 ← 234.58 m → N 78.929273°
W 29.289551°		 →
↑
234.58 m
↓
↑
234.58 m
↓
N 78.927163°
W 29.300537°		 ← 234.62 m →
55 033 m²		 N 78.927163°
W 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418624877929688 y=0.128555297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418624877929688 × 215)
    floor (0.418624877929688 × 32768)
    floor (13717.5)     		tx = 13717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128555297851562 × 215)
    floor (0.128555297851562 × 32768)
    floor (4212.5)     		ty = 4212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13717 / 4212 ti = "15/13717/4212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13717/4212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13717 ÷ 215
    13717 ÷ 32768     		x = 0.418609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4212 ÷ 215
    4212 ÷ 32768     		y = 0.1285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    0.742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33395176870129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51139085} λ = -0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33395176870129))-π/2
    2×atan(10.3186379391382)-π/2
    2×1.47418601021624-π/2
    2.94837202043247-1.57079632675     		φ = 1.37757569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37757569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.929273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13717 KachelY 4212 -0.51139085 1.37757569 -29.300537 78.929273
    Oben rechts KachelX + 1 13718 KachelY 4212 -0.51119910 1.37757569 -29.289551 78.929273
    Unten links KachelX 13717 KachelY + 1 4213 -0.51139085 1.37753887 -29.300537 78.927163
    Unten rechts KachelX + 1 13718 KachelY + 1 4213 -0.51119910 1.37753887 -29.289551 78.927163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37757569-1.37753887) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dl = 234.580220000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37757569-1.37753887) × R
    3.68200000000485e-05 × 6371000     		dr = 234.580220000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51139085--0.51119910) × cos(1.37757569) × R
    0.000191749999999935 × 0.192020589012658 × 6371000     		do = 234.579888345902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51139085--0.51119910) × cos(1.37753887) × R
    0.000191749999999935 × 0.192056723695328 × 6371000     		du = 234.624031892538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37757569)-sin(1.37753887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192020589012658-0.192056723695328)×R²
    abs(-0.51119910--0.51139085)×3.61346826698583e-05×R²
    0.000191749999999935×3.61346826698583e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.61346826698583e-05×40589641000000     		ar = 55032.9794233194m²