Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13717 / 3571
↖ ↑ ↗
← N 80.203046°
W 29.300537°		 ← 207.87 m → N 80.203046°
W 29.289551°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 80.201176°
W 29.300537°		 ← 207.91 m →
43 217 m²		 N 80.201176°
W 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418624877929688 y=0.108993530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418624877929688 × 215)
    floor (0.418624877929688 × 32768)
    floor (13717.5)     		tx = 13717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108993530273438 × 215)
    floor (0.108993530273438 × 32768)
    floor (3571.5)     		ty = 3571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13717 / 3571 ti = "15/13717/3571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13717/3571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13717 ÷ 215
    13717 ÷ 32768     		x = 0.418609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3571 ÷ 215
    3571 ÷ 32768     		y = 0.108978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108978271484375 × 2 - 1) × π
    0.78204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45686197932712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51139085} λ = -0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45686197932712))-π/2
    2×atan(11.6681391688189)-π/2
    2×1.48530177125212-π/2
    2.97060354250424-1.57079632675     		φ = 1.39980722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39980722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.203046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13717 KachelY 3571 -0.51139085 1.39980722 -29.300537 80.203046
    Oben rechts KachelX + 1 13718 KachelY 3571 -0.51119910 1.39980722 -29.289551 80.203046
    Unten links KachelX 13717 KachelY + 1 3572 -0.51139085 1.39977459 -29.300537 80.201176
    Unten rechts KachelX + 1 13718 KachelY + 1 3572 -0.51119910 1.39977459 -29.289551 80.201176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39980722-1.39977459) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39980722-1.39977459) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51139085--0.51119910) × cos(1.39980722) × R
    0.000191749999999935 × 0.170157114739671 × 6371000     		do = 207.870610032665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51139085--0.51119910) × cos(1.39977459) × R
    0.000191749999999935 × 0.17018926880401 × 6371000     		du = 207.909890699708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39980722)-sin(1.39977459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170157114739671-0.17018926880401)×R²
    abs(-0.51119910--0.51139085)×3.21540643384577e-05×R²
    0.000191749999999935×3.21540643384577e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.21540643384577e-05×40589641000000     		ar = 43217.4164612491m²