Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13716 / 4405
↖ ↑ ↗
← N 78.514640°
W 29.311523°		 ← 243.24 m → N 78.514640°
W 29.300537°		 →
↑
243.31 m
↓
↑
243.31 m
↓
N 78.512452°
W 29.311523°		 ← 243.28 m →
59 187 m²		 N 78.512452°
W 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418594360351562 y=0.134445190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418594360351562 × 215)
    floor (0.418594360351562 × 32768)
    floor (13716.5)     		tx = 13716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134445190429688 × 215)
    floor (0.134445190429688 × 32768)
    floor (4405.5)     		ty = 4405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13716 / 4405 ti = "15/13716/4405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13716/4405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13716 ÷ 215
    13716 ÷ 32768     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4405 ÷ 215
    4405 ÷ 32768     		y = 0.134429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134429931640625 × 2 - 1) × π
    0.73114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29694448219461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29694448219461))-π/2
    2×atan(9.94375267577052)-π/2
    2×1.47056765137042-π/2
    2.94113530274085-1.57079632675     		φ = 1.37033898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37033898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.514640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13716 KachelY 4405 -0.51158259 1.37033898 -29.311523 78.514640
    Oben rechts KachelX + 1 13717 KachelY 4405 -0.51139085 1.37033898 -29.300537 78.514640
    Unten links KachelX 13716 KachelY + 1 4406 -0.51158259 1.37030079 -29.311523 78.512452
    Unten rechts KachelX + 1 13717 KachelY + 1 4406 -0.51139085 1.37030079 -29.300537 78.512452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37033898-1.37030079) × R
    3.819000000016e-05 × 6371000     		dl = 243.30849000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37033898-1.37030079) × R
    3.819000000016e-05 × 6371000     		dr = 243.30849000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51139085) × cos(1.37033898) × R
    0.000191739999999996 × 0.199117540310153 × 6371000     		do = 243.237116827842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51139085) × cos(1.37030079) × R
    0.000191739999999996 × 0.19915496543366 × 6371000     		du = 243.2828344433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37033898)-sin(1.37030079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199117540310153-0.19915496543366)×R²
    abs(-0.51139085--0.51158259)×3.74251235071843e-05×R²
    0.000191739999999996×3.74251235071843e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.74251235071843e-05×40589641000000     		ar = 59187.2173570366m²