Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13714 / 4214
↖ ↑ ↗
← N 78.925053°
W 29.333496°		 ← 234.67 m → N 78.925053°
W 29.322510°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
N 78.922942°
W 29.333496°		 ← 234.71 m →
55 084 m²		 N 78.922942°
W 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418533325195312 y=0.128616333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418533325195312 × 215)
    floor (0.418533325195312 × 32768)
    floor (13714.5)     		tx = 13714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128616333007812 × 215)
    floor (0.128616333007812 × 32768)
    floor (4214.5)     		ty = 4214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13714 / 4214 ti = "15/13714/4214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13714/4214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13714 ÷ 215
    13714 ÷ 32768     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4214 ÷ 215
    4214 ÷ 32768     		y = 0.12860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12860107421875 × 2 - 1) × π
    0.7427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33356827350433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33356827350433))-π/2
    2×atan(10.314681549726)-π/2
    2×1.47414918380062-π/2
    2.94829836760123-1.57079632675     		φ = 1.37750204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37750204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.925053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13714 KachelY 4214 -0.51196609 1.37750204 -29.333496 78.925053
    Oben rechts KachelX + 1 13715 KachelY 4214 -0.51177434 1.37750204 -29.322510 78.925053
    Unten links KachelX 13714 KachelY + 1 4215 -0.51196609 1.37746520 -29.333496 78.922942
    Unten rechts KachelX + 1 13715 KachelY + 1 4215 -0.51177434 1.37746520 -29.322510 78.922942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37750204-1.37746520) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37750204-1.37746520) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51177434) × cos(1.37750204) × R
    0.000191750000000046 × 0.192092867931392 × 6371000     		do = 234.668187110111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51177434) × cos(1.37746520) × R
    0.000191750000000046 × 0.192129021720588 × 6371000     		du = 234.712353998029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37750204)-sin(1.37746520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192092867931392-0.192129021720588)×R²
    abs(-0.51177434--0.51196609)×3.61537891961639e-05×R²
    0.000191750000000046×3.61537891961639e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.61537891961639e-05×40589641000000     		ar = 55083.5995388192m²