Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13714 / 10654
↖ ↑ ↗
← N 53.133590°
W 29.333496°		 ← 732.92 m → N 53.133590°
W 29.322510°		 →
↑
732.98 m
↓
↑
732.98 m
↓
N 53.126998°
W 29.333496°		 ← 733.04 m →
537 262 m²		 N 53.126998°
W 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418533325195312 y=0.325149536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418533325195312 × 215)
    floor (0.418533325195312 × 32768)
    floor (13714.5)     		tx = 13714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325149536132812 × 215)
    floor (0.325149536132812 × 32768)
    floor (10654.5)     		ty = 10654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13714 / 10654 ti = "15/13714/10654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13714/10654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13714 ÷ 215
    13714 ÷ 32768     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10654 ÷ 215
    10654 ÷ 32768     		y = 0.32513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32513427734375 × 2 - 1) × π
    0.3497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09871373929169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09871373929169))-π/2
    2×atan(3.0003043673096)-π/2
    2×1.24907620635027-π/2
    2.49815241270055-1.57079632675     		φ = 0.92735609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92735609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.133590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13714 KachelY 10654 -0.51196609 0.92735609 -29.333496 53.133590
    Oben rechts KachelX + 1 13715 KachelY 10654 -0.51177434 0.92735609 -29.322510 53.133590
    Unten links KachelX 13714 KachelY + 1 10655 -0.51196609 0.92724104 -29.333496 53.126998
    Unten rechts KachelX + 1 13715 KachelY + 1 10655 -0.51177434 0.92724104 -29.322510 53.126998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92735609-0.92724104) × R
    0.000115050000000005 × 6371000     		dl = 732.983550000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92735609-0.92724104) × R
    0.000115050000000005 × 6371000     		dr = 732.983550000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51177434) × cos(0.92735609) × R
    0.000191750000000046 × 0.5999513012897 × 6371000     		do = 732.924057744249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51177434) × cos(0.92724104) × R
    0.000191750000000046 × 0.600043341520692 × 6371000     		du = 733.036497703008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92735609)-sin(0.92724104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5999513012897-0.600043341520692)×R²
    abs(-0.51177434--0.51196609)×9.20402309919632e-05×R²
    0.000191750000000046×9.20402309919632e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.20402309919632e-05×40589641000000     		ar = 537262.486638473m²