Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13713 / 3576
↖ ↑ ↗
← N 80.193694°
W 29.344483°		 ← 208.07 m → N 80.193694°
W 29.333496°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
N 80.191823°
W 29.344483°		 ← 208.11 m →
43 298 m²		 N 80.191823°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418502807617188 y=0.109146118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418502807617188 × 215)
    floor (0.418502807617188 × 32768)
    floor (13713.5)     		tx = 13713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109146118164062 × 215)
    floor (0.109146118164062 × 32768)
    floor (3576.5)     		ty = 3576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13713 / 3576 ti = "15/13713/3576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13713/3576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13713 ÷ 215
    13713 ÷ 32768     		x = 0.418487548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3576 ÷ 215
    3576 ÷ 32768     		y = 0.109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418487548828125 × 2 - 1) × π
    -0.16302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51215784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109130859375 × 2 - 1) × π
    0.78173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45590324133472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51215784} λ = -0.51215784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45590324133472))-π/2
    2×atan(11.6569578413353)-π/2
    2×1.48522016466205-π/2
    2.9704403293241-1.57079632675     		φ = 1.39964400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51215784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.344483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39964400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.193694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13713 KachelY 3576 -0.51215784 1.39964400 -29.344483 80.193694
    Oben rechts KachelX + 1 13714 KachelY 3576 -0.51196609 1.39964400 -29.333496 80.193694
    Unten links KachelX 13713 KachelY + 1 3577 -0.51215784 1.39961134 -29.344483 80.191823
    Unten rechts KachelX + 1 13714 KachelY + 1 3577 -0.51196609 1.39961134 -29.333496 80.191823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39964400-1.39961134) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39964400-1.39961134) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51215784--0.51196609) × cos(1.39964400) × R
    0.000191749999999935 × 0.170317952226229 × 6371000     		do = 208.067095419115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51215784--0.51196609) × cos(1.39961134) × R
    0.000191749999999935 × 0.170350134945327 × 6371000     		du = 208.106411091937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39964400)-sin(1.39961134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170317952226229-0.170350134945327)×R²
    abs(-0.51196609--0.51215784)×3.21827190981061e-05×R²
    0.000191749999999935×3.21827190981061e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.21827190981061e-05×40589641000000     		ar = 43298.0382287522m²