Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13712 / 3540
↖ ↑ ↗
← N 80.260827°
W 29.355469°		 ← 206.65 m → N 80.260827°
W 29.344483°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 80.258969°
W 29.355469°		 ← 206.68 m →
42 713 m²		 N 80.258969°
W 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418472290039062 y=0.108047485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418472290039062 × 215)
    floor (0.418472290039062 × 32768)
    floor (13712.5)     		tx = 13712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108047485351562 × 215)
    floor (0.108047485351562 × 32768)
    floor (3540.5)     		ty = 3540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13712 / 3540 ti = "15/13712/3540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13712/3540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13712 ÷ 215
    13712 ÷ 32768     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3540 ÷ 215
    3540 ÷ 32768     		y = 0.1080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1080322265625 × 2 - 1) × π
    0.783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46280615488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46280615488))-π/2
    2×atan(11.7377031819403)-π/2
    2×1.48580601481675-π/2
    2.97161202963351-1.57079632675     		φ = 1.40081570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40081570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.260827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13712 KachelY 3540 -0.51234958 1.40081570 -29.355469 80.260827
    Oben rechts KachelX + 1 13713 KachelY 3540 -0.51215784 1.40081570 -29.344483 80.260827
    Unten links KachelX 13712 KachelY + 1 3541 -0.51234958 1.40078326 -29.355469 80.258969
    Unten rechts KachelX + 1 13713 KachelY + 1 3541 -0.51215784 1.40078326 -29.344483 80.258969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40081570-1.40078326) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40081570-1.40078326) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51215784) × cos(1.40081570) × R
    0.000191739999999996 × 0.169163255099412 × 6371000     		do = 206.645694696218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51215784) × cos(1.40078326) × R
    0.000191739999999996 × 0.169195227486555 × 6371000     		du = 206.684751382307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40081570)-sin(1.40078326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169163255099412-0.169195227486555)×R²
    abs(-0.51215784--0.51234958)×3.19723871426703e-05×R²
    0.000191739999999996×3.19723871426703e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.19723871426703e-05×40589641000000     		ar = 42712.5845749063m²