Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13712 / 15664
↖ ↑ ↗
← N 79.536631°
W142.338867°		 ← 55.47 m → N 79.536631°
W142.336121°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.536132°
W142.338867°		 ← 55.47 m →
3 078 m²		 N 79.536132°
W142.336121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104618072509766 y=0.119510650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104618072509766 × 217)
    floor (0.104618072509766 × 131072)
    floor (13712.5)     		tx = 13712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119510650634766 × 217)
    floor (0.119510650634766 × 131072)
    floor (15664.5)     		ty = 15664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13712 / 15664 ti = "17/13712/15664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13712/15664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13712 ÷ 217
    13712 ÷ 131072     		x = 0.1046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15664 ÷ 217
    15664 ÷ 131072     		y = 0.1195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.790771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48428189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1195068359375 × 2 - 1) × π
    0.760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39070905785144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48428189} λ = -2.48428189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39070905785144))-π/2
    2×atan(10.9212349857081)-π/2
    2×1.47948620701585-π/2
    2.9589724140317-1.57079632675     		φ = 1.38817609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48428189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38817609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.536631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13712 KachelY 15664 -2.48428189 1.38817609 -142.338867 79.536631
    Oben rechts KachelX + 1 13713 KachelY 15664 -2.48423395 1.38817609 -142.336121 79.536631
    Unten links KachelX 13712 KachelY + 1 15665 -2.48428189 1.38816738 -142.338867 79.536132
    Unten rechts KachelX + 1 13713 KachelY + 1 15665 -2.48423395 1.38816738 -142.336121 79.536132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38817609-1.38816738) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dl = 55.4914099994384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38817609-1.38816738) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dr = 55.4914099994384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48428189--2.48423395) × cos(1.38817609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181606859344243 × 6371000     		do = 55.4674094042551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48428189--2.48423395) × cos(1.38816738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181615424500647 × 6371000     		du = 55.4700254234877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38817609)-sin(1.38816738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181606859344243-0.181615424500647)×R²
    abs(-2.48423395--2.48428189)×8.56515640323963e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.56515640323963e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.56515640323963e-06×40589641000000     		ar = 3078.03734032611m²