Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13711 / 3751
↖ ↑ ↗
← N 79.860768°
W 29.366455°		 ← 215.06 m → N 79.860768°
W 29.355469°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
N 79.858833°
W 29.366455°		 ← 215.10 m →
46 260 m²		 N 79.858833°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418441772460938 y=0.114486694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418441772460938 × 215)
    floor (0.418441772460938 × 32768)
    floor (13711.5)     		tx = 13711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114486694335938 × 215)
    floor (0.114486694335938 × 32768)
    floor (3751.5)     		ty = 3751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13711 / 3751 ti = "15/13711/3751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13711/3751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13711 ÷ 215
    13711 ÷ 32768     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3751 ÷ 215
    3751 ÷ 32768     		y = 0.114471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114471435546875 × 2 - 1) × π
    0.77105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42234741160068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42234741160068))-π/2
    2×atan(11.2722889840168)-π/2
    2×1.48231483203994-π/2
    2.96462966407988-1.57079632675     		φ = 1.39383334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39383334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.860768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13711 KachelY 3751 -0.51254133 1.39383334 -29.366455 79.860768
    Oben rechts KachelX + 1 13712 KachelY 3751 -0.51234958 1.39383334 -29.355469 79.860768
    Unten links KachelX 13711 KachelY + 1 3752 -0.51254133 1.39379958 -29.366455 79.858833
    Unten rechts KachelX + 1 13712 KachelY + 1 3752 -0.51234958 1.39379958 -29.355469 79.858833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39383334-1.39379958) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39383334-1.39379958) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(1.39383334) × R
    0.000191750000000046 × 0.176040806097808 × 6371000     		do = 215.058358330773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(1.39379958) × R
    0.000191750000000046 × 0.17607403876317 × 6371000     		du = 215.098956659161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39383334)-sin(1.39379958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176040806097808-0.17607403876317)×R²
    abs(-0.51234958--0.51254133)×3.32326653619541e-05×R²
    0.000191750000000046×3.32326653619541e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.32326653619541e-05×40589641000000     		ar = 46260.1844489373m²