Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13711 / 3539
↖ ↑ ↗
← N 80.262686°
W 29.366455°		 ← 206.62 m → N 80.262686°
W 29.355469°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 80.260827°
W 29.366455°		 ← 206.66 m →
42 707 m²		 N 80.260827°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418441772460938 y=0.108016967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418441772460938 × 215)
    floor (0.418441772460938 × 32768)
    floor (13711.5)     		tx = 13711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108016967773438 × 215)
    floor (0.108016967773438 × 32768)
    floor (3539.5)     		ty = 3539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13711 / 3539 ti = "15/13711/3539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13711/3539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13711 ÷ 215
    13711 ÷ 32768     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3539 ÷ 215
    3539 ÷ 32768     		y = 0.108001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108001708984375 × 2 - 1) × π
    0.78399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46299790247848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46299790247848))-π/2
    2×atan(11.7399540741318)-π/2
    2×1.48582223160804-π/2
    2.97164446321607-1.57079632675     		φ = 1.40084814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40084814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.262686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13711 KachelY 3539 -0.51254133 1.40084814 -29.366455 80.262686
    Oben rechts KachelX + 1 13712 KachelY 3539 -0.51234958 1.40084814 -29.355469 80.262686
    Unten links KachelX 13711 KachelY + 1 3540 -0.51254133 1.40081570 -29.366455 80.260827
    Unten rechts KachelX + 1 13712 KachelY + 1 3540 -0.51234958 1.40081570 -29.355469 80.260827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40084814-1.40081570) × R
    3.24399999998004e-05 × 6371000     		dl = 206.675239998728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40084814-1.40081570) × R
    3.24399999998004e-05 × 6371000     		dr = 206.675239998728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(1.40084814) × R
    0.000191750000000046 × 0.16913128253425 × 6371000     		do = 206.617413146729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(1.40081570) × R
    0.000191750000000046 × 0.169163255099412 × 6371000     		du = 206.656472087254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40084814)-sin(1.40081570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16913128253425-0.169163255099412)×R²
    abs(-0.51234958--0.51254133)×3.19725651619918e-05×R²
    0.000191750000000046×3.19725651619918e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.19725651619918e-05×40589641000000     		ar = 42706.739711943m²