Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13711 / 10636
↖ ↑ ↗
← N 53.252069°
W 29.366455°		 ← 730.90 m → N 53.252069°
W 29.355469°		 →
↑
730.94 m
↓
↑
730.94 m
↓
N 53.245495°
W 29.366455°		 ← 731.01 m →
534 290 m²		 N 53.245495°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418441772460938 y=0.324600219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418441772460938 × 215)
    floor (0.418441772460938 × 32768)
    floor (13711.5)     		tx = 13711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324600219726562 × 215)
    floor (0.324600219726562 × 32768)
    floor (10636.5)     		ty = 10636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13711 / 10636 ti = "15/13711/10636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13711/10636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13711 ÷ 215
    13711 ÷ 32768     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10636 ÷ 215
    10636 ÷ 32768     		y = 0.3245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3245849609375 × 2 - 1) × π
    0.350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10216519606433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10216519606433))-π/2
    2×atan(3.01067767935949)-π/2
    2×1.25011013046873-π/2
    2.50022026093747-1.57079632675     		φ = 0.92942393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92942393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.252069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13711 KachelY 10636 -0.51254133 0.92942393 -29.366455 53.252069
    Oben rechts KachelX + 1 13712 KachelY 10636 -0.51234958 0.92942393 -29.355469 53.252069
    Unten links KachelX 13711 KachelY + 1 10637 -0.51254133 0.92930920 -29.366455 53.245495
    Unten rechts KachelX + 1 13712 KachelY + 1 10637 -0.51234958 0.92930920 -29.355469 53.245495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92942393-0.92930920) × R
    0.000114730000000063 × 6371000     		dl = 730.9448300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92942393-0.92930920) × R
    0.000114730000000063 × 6371000     		dr = 730.9448300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(0.92942393) × R
    0.000191750000000046 × 0.598295672263515 × 6371000     		do = 730.901476342421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51234958) × cos(0.92930920) × R
    0.000191750000000046 × 0.598387598653849 × 6371000     		du = 731.013777228964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92942393)-sin(0.92930920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598295672263515-0.598387598653849)×R²
    abs(-0.51234958--0.51254133)×9.19263903338408e-05×R²
    0.000191750000000046×9.19263903338408e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.19263903338408e-05×40589641000000     		ar = 534289.698834577m²